织女必看，球体的通用图解，万能公式，钩针与数学

钩针当中球形是非常常用的图形。
比如玩偶的头部，身体，帽子，各种球…，

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今天我们就来看一下球的钩织规律及数学推导。

1.球体的基本概念。

球是一个旋转体，如动图所示，它是由一个半圆，以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所围成的旋转体。

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​球上的圆

在球上我们可以找到无数大大小小的圆。我们将球上的圆分为两类，大圆与小圆。

（重点注意：大圆，我们下面要用到）
大圆：球面上圆心与球心重合的圆，即在球面上以球心为圆心的圆。因其为球面上最大的圆而得名，与“小圆”相对。例如在地球上，赤道与经线圈均为大圆。

小圆：球面上圆心与球心不重合的圆，即在球面上不以球心为圆心的任意一圆。例如在地球上，纬线圈（除赤道）均为小圆。

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2.当钩针遇到球体

我们用钩针来做球的时候，一般的图解是这样的：

环起
R1. 6X  (6)
R2. 6V  (12)
R3.  6（X,V）(18)
R4.  6（2X,V）(24)

R5-8  24X  (24)

R9. 6（2X,A）(18)
R10. 6(X.A)  (12)
R11. 6A   (6)
R12.收口

但是细心的朋友会发现这其实是一个圆柱体。

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前4圈是一个圆，最后四圈也是一个圆。而且这两个圆是相等的。中间是不加不减针，是相当于圆柱体。

事实也是这样。就是钩了一个圆柱体。

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但是在塞上棉花之后，塞的不能再塞了，就会变成一个球。

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现在问题来了，这个不加不减针的行数到底应该是多少？这个球的直径又是多少呢？

只要我们明析了这两个问题的答案，那么我们就可以得出球的万能公式。


3.数学推导过程

首先声明由圆柱体变成球，这个球肯定不是一个数学意义上的完美的球。只能是无限接近。

圆柱体可以变成球的原因，是因为他们在拓扑学里面是属于同胚。同样的原理，足球一共是有32个面缝制而成，充上气之后，就变成了一个球。毛线由于其特性，所以使它可以由圆柱体变成球体。

由圆柱体变为球，需要解决的另外一个问题是曲率。圆柱体和球的曲率是不一样的。圆形和半球型也是不一样的。但是曲率这个算法是涉及到微积分。我找到一篇国外的论文，涉及高斯曲线，里面的公式直接看不懂。（本人非数学专业，欢迎有数学爱好者一起来讨论）

所以来点简单的，我采用另外方式来推导。一共有两种方式来推导它的结果。

设中间不加不减针为x（设短针的长和宽相等）

第一种：表面积相同

前提是：我们用圆柱体变成了个球。

因为我们用毛线勾出来，由一个圆柱体的皮囊变成了一个球的皮囊，所以它们两个表面积相同。

且球的直径为最后一圈圆的直径，和上下两个圆的直径相同。

圆柱体的表面积公式：

上下两个等圆加上中间的长方形。

设圆半径为r，长方形的高未知，为x。

那么这个圆柱体的表面积等于2*πr^2+x*(2πr)

球的表面积公式：4πr^2

所以可以写为：

2*πr^2+x*(2πr)=4πr^2

解方程后，得出 x=r。

方法二

球的大圆都是相同的。

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把这个看成一个毛线球，

我们已经知道绿色这条线,2πr

因为大圆长度相同，蓝色也是大圆。

所以蓝色这条线长度也是，2πr

蓝色这条线其实是由上下两个圆的直径加上两次中间x构成的。

所以可以列方程

2r+2r+2x=2πr

π取整数3,x=r

再来看一下实际检测。

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球的直径约为4.6厘米。底部的圆直径约为4.1厘米。

因为球是立体的，它需要加上毛线的厚度。

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毛线厚度约为2-3毫米，需要计算两次毛线厚度。

把毛线厚度加上后，在考虑手工测量的误差，两者基本相等。

4.球体的万用公式。

经过上面的推导，我们来总结一下怎么勾一个球，球的通用公式。（适用于短针）

如果你需要勾一个半径为r的球。

那么你需要先勾一个半径为r的圆，再不加不减钩r行，然后再进行减针，勾一个半径为r的圆。

环起
R1. 6X  (6)
R2. 6V  (12)
R3.  6（X,V）(18)
R4.  6（2X,V）(24)
…

Rn   6((n-2)x,v)  (6n)

（圆完成）

…(不加不减)
R2n  6n  (6n)

（中间部分完成）

R2n+1  开始减针，以下省略

…
R3n-3. 6（2X,A）(18)
R3n-2. 6(X.A)  (12)
R3n-1. 6A   (6)

R3n.   收口

实际操作过程当中，如果这个球需要频繁的换线，比如钩一个地球，

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这时候不能采取压线的方式来换线，要把线放在外面。否则短针的长和宽比不是1:1，整个图解需要重新开始计算。