【原】压轴题“一题精讲”(二十二)：巧解三角形(3)(倍角、半角、黄金三角形+杨浦历年三模)

01 “倍角”和“半角”问题

在解三角形问题当中，常常涉及到一个角的“半角”和“倍角”，如何构造一个角的“半角”和“倍角”呢？我们往往可以通过构造等腰三角形的方式，构造“半角”和“倍角”，再结合等腰三角形的性质或勾股定理进行求解。

当需要借助半角和倍角解三角形时，需要先画出一个直角三角形进行辅助证明，从而才能进行运用。

02 黄金三角形

黄金三角形的定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底边与腰的比是黄金比(如图1)。除了顶角问哦36°的等腰三角形外，底角为36°的等腰三角形也是一种黄金三角形，只是其腰与底边的比为黄金比(如图3)。

当出现底角为18°或36°的等腰三角形时，往往可以联想黄金三角形的相关性质，同样需要先证明，再应用相关性质。

解法分析：本题的背景是“双垂直模型”和“角平分线”模型的组合，综合围绕着证明线段相等，求线段比值和求线段长度的问题。问题解决的途径依托角平分线的对称性构造等腰三角形、构造半角解三角形(角平分线的性质定理解三角形)以及利用黄金三角形求线段的比。

本题的第(1)问利用角平分线的对称性构造等腰三角形，即延长BE、AC相交于点P，从而说明点E为BP的中点，从而利用CE为斜边中线证明BE=CE。

本题的第(2)问是求线段的比值。本题的解题路径有两种：构造X型基本图形求线段比值，构造半角解三角形；或利用角平分线的性质定理以及cot∠ABC标出图中所有线段的长度，进而求解。

这两种解法的路径都在于灵活运用锐角三角比解三角形，利用参数法标示，从而得到相关长度。

解法1在利用半角的三角比时，需要画出一个直角三角形辅助说明，避免格式的失分。

本题的第(3)问的背景是直角三角形斜边的中线以及圆，根据直角三角形斜边中线的性质以及同圆的半径相等，可得∠FAC=18°，继而得到△AGC是一个黄金三角形，从而构造与AG相等的AH，利用相似三角形的性质得到H为AC的黄金分割点，继而求得AH的长度，再求得AG的长度，最后求出AB的长度。

本题的难点在于构造△GHC与△AGC相似，构造黄金分割点。

解法分析：本题的背景是“345”三角形和动“平行四边形”相结合的问题。综合围绕着求某个角的锐角三角比，线段的取值范围和特殊背景下线段的长度。问题解决的途径在于灵活利用锐角三角比标出相应线段的长度，或利用三角比列方程解出参数的值。

本题的第(1)问利用DE⊥BE，根据CD=2，求得DB的长度，通过解Rt△BDE，从而求出BE的长度，继而得到AE的长度，再利用sinA，求出AF的长度，最后根据CF的长度求出cot∠CDF。

本题的第(2)问是求CD范围的问题，首先要确定CD的临界值。当G恰好落在边AB上时是临界范围，且此时为最大值，当D与C重合时，此时CD=0，但是0不能取等(线段长度不能为0)。

此时利用DF//AB，确定∠A=∠CFD，通过设CD=4a，利用∠A和∠B的三角比，通过解Rt△BDE，标出AE、BE的长度，利用AE和BE的和为10求出a的值，继而求出CD的最大值，从而确定CD范围。

本题的第(3)问涉及求线段长度。本题可以用两条路径解决。

路径1：构造半角。由题意可得∠CFD=∠FED，从而如何求得∠CFD的三角比成为了问题解决的关键。

发现∠A的半角恰好等于∠CFD，设CD=a，利用tan∠CFD=0.5，标出AF和CF的长度，从而求得a的值。

路径2：构造一线三直角。通过过点E作EM⊥AC，设AM=3a，利用AF=AE，以及∠B的三角比，利用tan∠MEF=tan∠CFD列出比例关系，从而求解。

END