必考题型-抛物线、角平分线，构造等腰三角形和一线三垂直，轻松解决。

【分析】

（1）将点B和点D坐标代入抛物线方程，易求，不多赘述。

（2）OP平分∠COD，注意到OP并非平行坐标轴的线段，根据角平分线性质构造全等三角形，并不易求解。

注意到点C是y轴正半轴上的点，如果我们做一条OC的平行线，可构造等腰三角形，

如上图，做PF∥y轴，显然PF⊥x轴，且∠COP=∠FPO（两直线平行，内错角相等)，

又OP是∠COD的角平分线，所以∠COP=∠DOP

所以∠DOP=∠FPO ,故△PEO是等腰三角形，这是这一问的题眼所在了。

（3）

如上图，点P在抛物线上，∠POE=45°，过点E做EM垂直OE，构造等腰直角三角形。

做EM⊥OE，令EM=OE，则△EOM为等腰直角三角形。

过点M做MN⊥y轴，显然构成一线三垂直，Rt△EFO≌RtMNE

简证：

∠FEO+∠MEN=90°，∠MEN+∠EMN=90°，所以∠FEO=∠EMN

而OE=EM，故三角形全等，

【求解】

（1）将B和点D坐标代入抛物线方程，

可求得抛物线方程：y=-x² -3x +4 = -(x+3/2)² + 25/4

所以，抛物线对称轴方程为 x=-3/2

（2）令点P坐标为(m,-m²-3m+4)， m<0

先求直线OD方程：y=-4x/3

则E点坐标为(m,-4m/3)

线段PE=-m²-3m+4 - (-4m/3) = -m² -5m/3 + 4

线段OE= -5m/3，

根据分析，在等腰△OPE中，PE=OE，

可求得m=2（舍掉) ，  m=-2，

故点P坐标为 (-2,6)

（3）直线BC的方程：y=x+4

点E是抛物线对称轴(x=-3/2)与BC的交点，故点E坐标为(-3/2, 5/2)

令点P坐标为(m,-m²-3m+4)， m>0

根据分析，Rt△EFO≌RtMNE

所以 MN=EF=5/2， EN=OF=3/2

所以点M的坐标为(1,4)

所以直线OM的方程为：y=4x

将点P坐标代入，

可求得m=(-7+√65)/2, 或者m=(-7-√65)/2 （舍掉）

故点P坐标为 ( (-7+√65)/2, -14+2√65)

【小结】

已知角平分线，做该角的一条边的平行线，可轻松构造等腰三角形。

根据特殊角构造等腰直角三角形，再构建一线三垂直，可获得一对全等的三角形。