每日一题 第1385期：利用两个函数的关系分析函数性质（2023·06·09）

 每日一题总计“1385期”

威威道来解答题总计“85期”

浅识·杂谈总计“1期”

（10号全部考试科目结束之后会陆续发布真题的相关解析以及我的解题感受）

第1385期

先导知识：必修1 选修1-1 选修2-2（旧） 必修1 选择性必修2（新）

涉及方法：

①函数的奇偶性与对称性

②函数的周期性

③原函数与导函数对称性的关系

④原函数与导函数周期性的关系

⑤函数周期性与对称性的关系

难度系数：★★★☆

本题是一个函数性质相关的问题，我们知道，函数的性质可以由很丰富的函数语言进行表达，但是表达时需要只有一个函数，所以类似于本题中多个函数在一起的表达形式，通过消元简化是最为实用的方法。很明显，题目给出的两个式子直接相加便可以消掉g(x)，只剩下f'(x)相关的一个关系，这个关系可以推出其关于(1,1)中心对称，此时可以知道f'(-1)+f'(3)=2，所以B不正确，又因为f(x)是奇函数，所以导函数除去由对称中心之外，还是偶函数有一个对称轴，从而函数具有周期性，周期为4。但是我们要注意导函数有周期性原函数未必有。此时我们根据上述描述可以构造一个满足要求的函数说明反例即可。之后我们可以利用f'(x)来表示g(x)，可以发现其关于(1,0)中心对称，从而C正确。同时g(x)周期为4，那么D选项中g'(-1)+g'(3)=2g'(-1)，而在x=-1处该函数导数值是不确定的，这里利用A选项的反例一样可以发现矛盾，从而D不正确。对于多个函数混合在一起的性质分析，搞明白函数与函数之间、性质与性质之间的关系是至关重要的。

做法详解：