《算术基础》困难的解决

循天园 2023-06-15 发布于广东

展开全文

§45．现在让我们全面地看一下我们至此已经确定的东西和尚未得到回答的问题。

数不是以从事物抽象出颜色、重量、硬度的方式抽象出来的，它不是事物的这种性质意义上的性质。但是依然有一个问题：通过给出一个数，人们对什么做出一些陈述呢？

数不是物理的东西，但也不是主观的东西，不是表象。

数不是通过把一事物添加到另一事物上而形成的。即使在每次添加之后给予命名，也不会改变任何东西。

“多”、“集合”和“众多”这些表达由于不确定，因而不适合用来解释数。

关于一和单位，存在着这样一个问题：对于那种似乎混淆了一和多之间各种区别的任意理解，应该如何加以限制。

分界性、不可分性和不可分解性都不能用来作为我们以“一”这个词所表达的东西的标志。

如果把被计数的事物称作单位，那么“单位是相等的”这个无限制的断定就是错误的。单位在某些方面是相等的，这尽管正确，却没有价值。数若是变得大于1，被计数事物的差异甚至就是必然的。

因此看上去，我们必须赋予单位以两种矛盾的性质：相等和可区别性。

应该对一和单位做出区别。“一”这个词作为数学研究的一个对象的专名不能是复数。因此通过把许多一结合在一起而形成数是没有意义的。1十1＝2中的加号不能意谓这样一种“结合”。

§46．为了说明这个问题，在一个表现出数的原初应用方式的判断的上下文中考虑数，将是十分有益的。在我看到同一个外界现象时，如果我能够同样真地说：“这是一片树”和“这是五棵树”，或者“这里有四个连”和“这里有500人”，那么这里发生变化的既不是个别的东西，也不是整体，即集合，而是我用的称谓。然而这仅仅表明是以一个概念替代了另一个概念。由此使我们想到下面这个事实作为对上一段第一个问题的回答：即数的给出包含着对一个概念的表达，这一点也许在0这个数的情况最清楚。如果我说“金星有0个卫星”，那么根本就不存在对之可做出某种陈述的卫星或卫星的集合；但是由此却赋予“金星的卫星”这个概念某种性质，即它不包含任何东西。如果我说：“皇帝的御车由四匹马拉”，我就把四这个数赋予“拉皇帝御车的马”这个概念。

人们可能会反对说，譬如像“德国臣民”这样的一个概念，尽管它的特征保持不变，但是如果在一个给出数的表达中说出了它的一种每年都要发生变化的性质，它就会得到这样一种性质。针对这一点，人们可以说，对象也可以改变它们的性质，这并不阻碍人们承认它们是同一的。但是这里对原因还可以进行更确切的说明。实际上，“德国臣民”这个概念含有时间这个变化因素，或者用数学方式表达，它是一个时间函数。对于“a是一个德国臣民”，人们可以说：“a属于德国”，而且这恰恰涉及现在时刻。因此这个概念本身已经有某种流动的东西。与此相反，适合“柏林时间1883年初的德国臣民”这个概念的永远是相同的数。

§47．数的给出表达了一些独立于我们理解的真实的东西，这种说法只能使那些认为概念是某种与表象相等的主观的东西的人感到奇怪。但是这种观点是错误的。例如，如果我们使物体这个概念下属于重物的概念，或者使鲸鱼这个概念下属于哺乳动物的概念，那么我们就以此判定了某种客观的东西。如果这些概念是主观的，那么一个概念下属于另一个概念这种概念之间的关系也就像表象之间的关系那样是主观的东西。乍一看，

“所有鲸鱼都是哺乳动物”

这个句子当然好像是关于动物的，而不是关于概念的；但是，如果人们问，所说的究竟是哪个动物，人们就不能指出任何唯一的动物。假定眼前有一条鲸鱼，那么这个句子对它依然没有断定任何东西。若是不加上“它是一条鲸鱼”这个句子，就不能从上面那个句子推论出，眼前这个动物是一个哺乳动物。因为这个句子不包含任何与此有关的东西。实际上，若是不以任何方式表示或称谓一个对象，就不可能谈论它。但是“鲸鱼”这个词并不称谓任何个别动物。如果人们回答说，这里说的绝不是一个个别的确定的对象，而可能是一个不确定的对象，那么我就认为，“不确定的对象”不过是“概念”的另一个表达，而且是一个很差的、充满矛盾的表达。尽管只有通过观察个别的动物才能证实我们这个句子，但是这对于它的内容不证明任何东西。它论及什么，这个问题是不是真的，或者说，我们出于什么理由把它看作真的，都是无所谓的。这里如果概念是某种客观的东西，那么关于它的表达也就可以包含某种事实的东西。

§48．前面在几个例子中形成一种假象：不同的数属于同一个事物。应该这样解释这种假象：那里是把一些对象当作数的承载者。只要我们指定真正的承载者，即概念的合法地位，就会表明数是相互排斥的，如同颜色在其范围相互排斥一样。

现在我们还看到，人们是如何想通过事物的抽象来获得数的。由此得到的是概念，然后在这概念上发现了数。因此实际上抽象常常出现在构造一个有关数的判断之前。这是一种混淆，就好像人们想说：用桁架加木板墙和谷草顶建造一座住宅，而且烟囱不密封，这样就得到易燃危险性这个概念。

概念的聚集力远远胜过综合统觉的结合力。以这种结合力不可能把德国的臣民结合成为一个整体；但是人们肯定可以使德国的臣民处于“德国臣民”这个概念之下并且计数他们。

现在，数的广泛可应用性也变得可以解释了。无论是对于外在现象还是对于内在现象，无论是对于时空的东西还是对于非时空的东西，如何能够做出相同的判定，实际上是莫明其妙的。这种情况在给出数时也绝不出现。数被赋予的仅仅是那些把外在和内在的东西、时空和非时空的东西置于其下的概念。

§49．我们在斯宾诺莎的著作中发现了对我们这个观点的一个证明。他说^[30]：“我回答说：仅考虑到一事物的存在，而不考虑它的本质，就把它称为一或单一的；因为只有把事物归于共同的尺度下之后我们才能借助于数想到事物。例如，一个人手里拿着一枚古罗马时代的银币和一枚帝俄时代的金币，如果他不能给予这枚古罗马时代的银币和这枚帝俄时代的金币相同的名字，即硬币或钱币，他就不会想到二这个数。如果他能给它们以相同的名字，即硬币或钱币，他就可以肯定他有两枚硬币或钱币；因为他用钱币这个名字不仅表示这枚古罗马时代的银币，也表示这枚帝俄时代的金币。”当他继续说“由此可以看出，把一个事物称为一或单一的，必须首先要想到另一个与它（正像所说的那样）一致的事物”时，当他认为人们不能在真正的意义上把上帝叫作一或单一的（因为我们对于它的本质不能建立任何抽象的概念）时，他错误地以为，只有通过直接对许多事物进行抽象才能获得概念。正相反，人们从一些标记出发也可以达到概念；而在这种情况，就可能没有任何东西在概念下。如果不出现这种情况，就绝不能否定存在，因而对存在的肯定也会失去其内容。

§50．施罗德^[31]强调说，如果能够谈论一事物的频繁性，那么这事物的名字必然总是一个属名，一个普遍的概念词（notio communis）；“只要人们完整地考虑一个对象——包括所有它的性质和关系，那么这个对象就会是世界上唯一的，再不会有与它相同的东西。这个对象的名字后来将带有一个专名（nomen proprium）的特征，而且这个对象不能被看作是重复出现的。但这不是仅适合于具体的对象，而是普遍地适合每个事物，尽管其表象也是通过抽象而形成的，假如只有这种表象包含着足以使有关事物成为一个完全确定事物的因素……。后者”（成为被计数的对象）“对于一事物只有在以下范围才是可能的：人们不考虑或者抽象掉它的一些使自身与所有其它事物相区别的特有特征和关系，通过这样一种方法，这个事物的名字才成为一个可应用于许多事物的概念。”

§51．在这段说明中，正确的东西被似是而非和使人误入歧途的表达掩盖起来，因此需要进行清理和筛选。首先，把一个普遍的概念词叫作一事物的名字是不合适的。由此形成一种假象，好像数是一事物的性质。一个普遍的概念词恰恰表达一个概念。只有带定冠词或指示代词，它才能被看作是一事物的专名，但是因而它再不能被看作概念词。一事物的名字是一个专名。一个对象不会重复出现，而是许多对象处于一个概念之下。一个概念不是仅通过对处于它之下的事物的抽象而获得的，在批评斯宾诺莎时就已经说明了这一点。这里我要补充说，一个概念不会由于以下原因而不再是概念：处于它之下的只有唯一一个事物，因而这个事物完全是由它确定的。1这个数恰恰属于一个这样的概念（譬如地球的伴星），它与2和3是同样意义上的数。对于一个概念人们总是要问，是否有某种东西处于它之下，可能是什么东西处于它之下。对于专名，这样的问题是毫无意义的。人们不应该受到这样的欺骗：语言把一个专名，譬如Mond，作为一个概念词使用，以及反过来，将一个概念词作为专名使用^[32]；尽管如此，区别依然存在。只要一个词在使用时带不定冠词或以复数形式不带冠词，它就是概念词。

§52．在德语语言使用中可以发现对把数赋予概念这种看法的进一步证明，人们说十人（zehn Mann），四马克（vier Mark），三桶（酒）（drei Fass）。这里，单数的用法可能是表明，考虑的是概念，不是事物。这种表达方式的优越性，尤其在0这个数表现出来。可是在其它地方，语言把数赋予对象，而不赋予概念：人们说“包数”，就像人们说“包重”一样。因此人们表面上在谈论对象，而实际上是想断定一个概念的某种东西。这种语言用法令人产生误解。“四（匹）纯种马”这个表达给人一种假象，好像正如“纯种”进一步确定了“马”这个概念一样，“四（匹）”进一步确定了“纯种马”这个概念。然而只有“纯种”是一个这样的标志；我们通过“四（匹）”这个词断定了一个概念的某种东西。

§53．我当然不是把由一个概念断定的性质理解为构成概念的标志。这些标志是处于概念之下的事物的性质，而不是概念的性质。因此“直角的”不是“直角三角形”这个概念的性质；但是，^“不存在直角的、直线的、等边的三角形”这个句子表达了“直角的、直线的、等边的三角形”这个概念的一种性质；零这个数被赋予这个概念。

在这一方面，存在与数有相似性。确实对存在的肯定不过是对零这个数的否定。因为存在是概念的性质，所以对上帝存在的本体论证明没有达到它的目的。但是，存在不是“上帝”这个概念的特征，唯一性也同样不是“上帝”这个概念的特征。唯一性不能用来定义这个概念，正像人们在盖房子时也不能把房子的坚固性、宽敞性、居住性和石头、灰浆、方木料一起使用。然而，人们不能从某种东西是一个概念的性质普遍地推论出：从这个概念，即从它的标记无法得出这种东西。在有些情况下这是可能的，正像有时可以从建筑石料的种类推论一座建筑物的耐用性一样。因此，若是声称绝不能从一个概念的标记推论出唯一性或存在，则会有些过分；只是这绝不能像人们把一个概念的标记作为一种性质赋予一个处于其下的对象那样直接完成。

否认存在和唯一性曾经可以是概念的标记，这也是错误的。只不过它们不是人们想依照语言赋予这些性质的那些概念的标记。例如，如果把所有其下只有一个对象的概念汇集在一个概念之下，那么唯一性就是这个概念的标记。例如，“地球卫星”这个概念将处于它之下，而不是所谓的天体将会处于它之下。因此人们能够使一个概念处于一个更高的概念，也可以说是一个二阶概念之下。但是不能把这种关系与下属关系混淆起来。

§54．现在可以对单位做出令人满意的解释。施罗德在上面提到的他那本教科书第7页上说：“每个属名或概念都被称为是以给定方式构造起来的数的名称，并且构成其单位的本质。”

实际上，把一个概念称为与属于它的数有关的单位，难道不是最适宜的吗？这样我们就能够为关于单位的这个断定——它脱离周围环境并且是不可分的——赢得一种意义。因为被赋予数的概念一般以明确的方式划清处于其下的东西。“数（Zahl）这个词的字母”这个概念划清了Z和a，划清了a和h，等等。“数这个词的音节”这个概念把这个词当作一个整体并且在下面的意义上当作不可分的东西加以强调：部分不再处于“数这个词的音节”这个概念之下。并非所有概念都具有这种性质。例如，我们可以用各种各样的方法把处于“红”这个概念之下的东西分开，而不使这些部分不再处于它之下。任何有穷数都不属于这样的概念。因此关于单位的分界性和不可分性的句子可以如下表述：

与一个有穷数有关的单位只能是这样一个概念，它把处于它之下的东西明确地分离开，而且不允许任何任意的划分。

但是人们看到，不可分性在这里有一种特殊的意谓。

现在我们很容易回答应该如何化解单位的相等和不可区分性这个问题。这里“单位”这个词是在双重意义上使用的。在上面解释的这个词的意义上，单位是相等的，在“木星有四颗卫星”这个句子中，单位是“木星的卫星”。处于这个概念之下的，不仅有Ⅰ，也有Ⅱ，也有Ⅲ，还有Ⅳ。因而人们可以说：Ⅰ与之相关的单位和Ⅱ与之相关的单位是相等的，如此等等。这里我们得到相等。但是如果人们断定单位的不可区分性，那么人们以此是意谓被计数事物的不可区分性。（G.弗雷格）

【注释】

[1]同上书，第5页。

[2]出现一些似乎与此矛盾的用法；但是如果更仔细地考虑，人们就会发现，应该补充一个概念词，或者不把“一”用作数词，应该断定的是单位性而不是单一性。

[3]鲍曼，同上书，第2卷，第2页。

[4]鲍曼，同上书，第2卷，第669页。

[5]鲍曼，同上书，第2卷，第669页。

[6]鲍曼，同上书，第1卷，第409页。

[7]关于“单位”这个词的历史，参见欧克恩的《哲学术语历史》（Eucken，Geschichte der philosophischen Terminologie.S.122—3，S.136，S.220）。

[8]科普：《小学算术》（Schularithmetik，Eisenbach，1867，S.5，u.6）。

[9]同上书，第5页。

[10]鲍曼，同上书，第1卷，第242页。

[11]艾本达，第二卷，第568页。