 《数学尖子生培养——培养分析问题、解决问题、探究问题的能力》 文/刘蒋巍 某初中解题群老师们评价试题，谈及【模型】与【分析能力】相关问题。 初中【模型】跟高中的【二级结论】类似。 本来高考命题组，也没想到有人应对高考整理出几百页的【二级结论】。 如果初中生，只是记忆【模型】，不理解【模型】为什么需要模型，【模型】怎么来的，升入高中，面对几百页的【二级结论】(还不全，高考还可以出其他方向，譬如:今年我以【贝塞尔曲线】、【笛卡尔叶形线】、【牛顿切线】等为背景的题，这些资料就没总结。仅总结了泰勒公式、洛必达法则等等。) 要培养学生【分析问题】、【解决问题】的能力。 理解'为什么'、'怎么想到的'比理解'怎么做'更重要。 否则，这些二级结论、模型，补充下来，无穷无尽。教学就陷入了迷茫。 譬如:当下初中，三角形中的《手拉手模型》、《旋转相似》等，要理解 【怎么想到辅助线是这么做的? 为什么这么做？ 初中要理解【模型】是怎么来的?怎么证明? 高中要理解为什么需要用到【二级结论】，理解【二级结论】是怎么证明的? 案例 举个例子。前几天一位老师朋友家的孩子(初一年级前几名)说要拓展思维。我发了一份练习让他们打印出来做。(实则，浙江宁波特级教师黄伟建主编的《非凡数学》系列图书。黄老师的书，原创题、改编题不少。这一点，我非常赞赏！支持原创、改编。) 其中，有一题，小朋友不会做了。嘴里说着'左手拉左手，右手拉右手'(我也没听懂啥意思)，总之，辅助线做错了。孩子爸妈(研究生学历)也一起做，也没做出来。用搜题软件搜索，也没搜到。拿来问我，怎么做? 我对孩子爸妈说: AD²+ CD²为定值，从出题背景角度看，B、D两点固定，通过转换，某点(譬如C点)轨迹应该是个圆。所以，这一题，不仅可以求题目中BC的最小值，也可以求最大值，均经过那个圆的圆心。这个是这类题的出题背景。 我跟小朋友互动 刘老师:你是怎么想到以CD为边构造等边三角形的呢？ 小朋友:看上去像【手拉手模型】，就套了个【模型】，然后做不出来了。以其他的为边，作等边应该也可以。 刘老师:AD²+ CD²为定值，两条线段平方和为定值，让你想到什么定理? 小朋友:勾股定理。 刘老师:AD、CD在同一个直角三角形当中么？ 小朋友:不在。 刘老师:那说明需要将AD、CD平方和为定值，这一等量关系，'转换'到同一个直角三角形中。同时，BC的最值又是要求的(长度不固定)。你以AD为边作等边，所构造出直角，并取斜边中线，尝试三边关系，发现其中一条线段不太好求。按照你作等边的方法，以BD为边作等边三角形，试一试呢？ 小朋友尝试……(如下图)  后续，小朋友在三角形△BCF中，构造三角形，用三边关系，问题迎刃而解(共线时取等) 由此可见，不能生搬硬套【模型】，要选择适合自己的解题角度。按江苏教育厅的话说:办适合的教育。 之后，我提供了一道类似的题，让小朋友探究其解法（并对比类似题与原题的异同），带着小朋友反思、并领略问题生成过程，最后再变式探究。（详见《学生该如何进行解题反思》）。    探究之后，发现：小朋友的探究能力不足。不知道更换问题背景（譬如：把等边三角形弱化为等腰三角形，或改成等腰直角三角形，可以探究新的命题）。为了培养小朋友的探究思维，我举了一道钟珍玖老师出的无锡中考题，带着小朋友感悟【初稿】（直角三角形ABC）——>【二稿】（等腰三角形ABC）——>【终稿】（等腰三角形ABC+正方形CDEF，为了让图形更美观，“作辅助线”更隐蔽）的探究过程。  小朋友觉得很有意思。 对于尖子生的培养，要培养其培养分析问题、解决问题、探究问题的能力。 对于准备参加强基的学生，我举了以上的例题。（强基学生训练这些题目，合情合理，没有超标一说。2023浙江某地强基甚至考了不少高中数学题，当然用初中方法也可以做。就引起了很大反响，被不少老师批评） 我对小朋友爸妈说：现在倡导【素养立意】，培养真正的人，而不是刷题的机器。2024年中考，大概率不会这么考。【素养立意】下的中考题，有新的出法。避免套路题，强调方法运用，与素养培养。 他们又很感兴趣，准备约我下一次喝茶聊一聊。 喝茶聊天之间，几张A4纸，交流的东西，汇总汇总，都可以发一篇小文章。如此培养，学会了方法，尖子生的学习，可以交给他自己，探讨中，可以有新的【课堂生成】，而不仅仅是【预设】，那又是更高的境界。 |
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