聊聊数学学习中的基础

那么，什么是数学学习中的基础呢？

一般在数学教学中，基础指的是双基——基础知识和基本技能，对双基的重视也是我国教育领域的特色。

当然在现在一些专家的表述中，双基变成了三基——基础知识、基本技能和基本思想。

现在的新课标中，对此的表述则变成了四基——基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

在实际的教学教研中，这四者之间并不是平行并列的关系，而是有机的结合。

当然，对于家长朋友们而言，对于老师们的教研并不关心，更关心的是数学学习中的基础知识、基本技能和基本思想指的是什么？又如何培养？

我们就来聊一聊这个话题。

所谓基础知识，很多朋友会认为就是基本的数学概念。

当然，概念——定义、公理、定理、性质、推论、公式是基础知识的一部分，也是很重要的一部分，是底层知识。

我经常会看到诸如初中数学100个知识点，高中数学全部公式之类的文章，也有很高的点击量，但是这些资料就是简单的罗列、堆砌，就像是横七竖八摆在那里的砖头，你说它们是不是知识，你说这些知识有没有用，是不是基础，就要打个问号了。

所有这些概念需要通过我们学习、理解，组织成一个体系，才能称之为基础知识。

什么表现呢？

简言之，就是你能够将基础的概念、方法用自己的语言将之按照一定的逻辑顺序串联并表述起来，能够构建成一个相对完整的知识网络，不厌其烦地不断向内填充，追求知识的广度、深度、牢固度。

举个例子，比如我们说函数的奇偶性。

那么相关的奇偶性概念你要知道，概念的内涵和外延要清楚。

常见的奇偶性判断方法要清楚，常见的奇偶函数要清楚，常见的易错概念要清楚。

这就够了吗？

远远不够，常见函数的奇偶性、它们组合在一起之后奇偶性的判断、奇偶性的图像特征、奇偶性和对称性的关系已经常见结论、奇偶性和其他性质的组合关系。

这够不够？

从量上来说够了，但如果没有有机的组合在一起，也不算很优秀。

比如从一般和特殊角度来讲，先研究对称性，再研究奇偶性，奇偶性是对称性的一种特殊情况。

从研究方法上来说，数形结合是比较重要的认识奇偶性和解决奇偶性问题的方式。

从题型相关上来讲，奇偶性和周期性形式相近、关系紧密，奇偶性和单调性经常结合命题。

这下总是够了吧？

还不够。

你这些认识是怎么来的呢？

是听老师讲的？看书看的？还是自己真刀真枪通过做题得到的呢？

如果是听课或者是看书，那么你能否真正把基础知识和应用结合在一起呢？

能否将之输出，应用在解题中呢？

我绝不是反对听课和看书，而是纸上得来终觉浅，对这些概念、公式、定理的认识和掌握，都是通过练习才能内化为自己的真正基础。

所以基础知识并不仅仅包括之前我们所说的内容，还有很重要的一部分——基础题型和基本方法。

对于基础题型、基本方法的掌握一定是依赖于一定的练习，而通过练习则可以在不同角度、深度去体现基本概念、公式、定理的应用价值，体会概念的内涵、外延，并把握知识之间的关系，进而构建网络。

即使你听课、看书中，已经接受了很多的信息，也需要通过练习与实践相结合。

所以来个小结，基础知识包括基本的概念、公式、定理、性质以及基本的题型与基本解法，需要在解题，尤其是通过一定量、类似但不重复的题型练习来将之结合在一起，需要追求全面、扎实。

如果在试卷中体现出来的话，就是简单或者中下等难度的基础题型能够解决掉。

那么基本技能指的是什么呢？

有时候，人们会把对于基本题型的基本解法划分进基本技能中，我觉得不太合适。

对于基本技能的要求会高一些，大概与数学思想方法是对应的。

什么叫基本技能或者说数学思想方法呢？

它们可以是一种普适的，能够在不同题型中都能够发挥作用的通性方法，比如数形结合，比如换元，比如待定系数方法等。

比如数形结合，在集合中能够用上，在函数中能够用上，在解析几何中更是常用。

比如换元法，在各个章节的不同题型中都会涉及到。

我们说这一道数学题和另一道数学题不一样，不一样在哪里呢？

不同之处首先是在涉及到的知识不同，那相同之处自然是在基本的数学思想方法也就是基本的技能上。

也可以是对于问题解决的一些经验体会的总结整理，比如遇到这道题往往从哪里入手，有那些容易出错之处。

这其实是一种对规律性知识的抽象、提取，它的产物可以是基本题型的基本解法。

还可以是对数学知识的结构认知，比如任何高中数学的每一章，其基本结构都是按照定义、表示、性质、应用来组织的；再比如立体几何线面位置关系的证明，就是线线关系、线面关系、面面关系的转化。

当然也包括一些大章节大题型的系统性的解决方法，比如导数和圆锥曲线等压轴题的题型和解法，这种题型因为比较复杂，对学生的要求比较高，就不属于是基础只是的范畴，它们的解决方法我将之划分在基本技能中。

一般来说，我们在试卷中看到的一些中等难度的题目，仅仅考一些基础性的知识没有办法解决，那么就需要我们有一定的基本技能的储备。

这一部分说实话，和基础知识不同，它是一种渐进性的习得性的能力，需要在实践中体会。

就类似于在这张纷乱的图中寻找路径。

除了学生自己的学习之外，也需要有一定的外力，比如老师的讲解，因为基本技能这一方面的很多内容，有时候是高于大部分学生当下水平的，需要有指引、有引导，然后再辅以练习，这样的效果更好。

基本的数学思想，相较于基本技能更加形而上一些，比如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。

但数学思想并不是空中楼阁，我们凡人无法接触，在我们所学习的所有数学知识、所解决的所有数学题目中，都会使用到基本的数学思想，它们的外在体现就是公理定理的证明、公式的推导过程、题目的解决方法，学生们无时无刻不在接触。

只不过学生们缺乏系统的引导，也缺乏一个整体的、系统的认识。

说起来，有些比较好的教辅书会有意识的进行引领，比如我前一段评测推荐的某一本高中教辅，我觉得是一个比较好的尝试。

以前我也觉得所谓的数学思想虚无缥缈，啥用都没有，但是最近这些年，我开始有意无意的在解题过程中使用数学思想来引领我解决问题的思路，发现数学思想是真实存在，并且的确有用的。

比如化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，在数学解题的过程中熠熠生辉。

虽然不用过于追求，但是在做题反思时有意识的琢磨一下，印证一下，对于之后的解题时有帮助的。

除了上述内容之外，我们说基础，其实还包括基本能力，比如计算能力、阅读能力、抽象思维能力里等在数学学习中比较常用的能力。

比如计算能力，之前从我个人的学习成长经历来看，是觉得计算对于高中生并不是一个问题，初中有大量训练，高中数学学习中也会有大量练习，学生的数学计算能力是会逐步提升的。

但现实中的确发现有些高中生在计算上能力还不到位，而包括计算能力在内的基本能力，其实都需要在之前的学习中不断积累，短期内不好提升——不是说不能提升，而是说时间太紧张，不太可能有专项练习的时间。

所以在基础阶段就需要重视对于计算能力的适当练习，以保证计算能力能够跟得上数学解题的要求。

再比如阅读能力，分析条件、提取信息，这种能力在现在的初高中数学学习和解题中越来越重要，同样的也不是到了需要时就能立马变出来的即战力，仍然是需要从小学到初中、高中的不断积累。

还有抽象思维能力，面对一个新定义、一个新问题，尤其是表现形式非常抽象的问题，你能否读懂题目条件，并以之为基础进行思考呢？

其实如果孩子到了大学，学了高数或者数学分析、线性代数、泛函、实变这些科目的话就会发现，抽象能力是多么重要。

所有这些基础能力可能是天生的，但对于大部分孩子来说可能需要长时间的不断积累才能达到一个比较高的水平。

数学基础，是一个看上去简单却又复杂的话题，希望我今天的文章能够帮助大家更好的把握好孩子数学基础的培养。

END