一道中考数学题，拆解之后很容易14

这是山东省济南市2022年中考倒数第二道压轴题，是经典的“手拉手”模型，考察的是等边三角形、等腰三角形、相似三角形等相关知识点。

我们先看第一问：

线段AD旋转60°，得到新的图形ADE。你要知道，什么条件变了？什么没变？我们先挨个梳理已知条件：

1、△ABC是等边三角形。这意味着AB=AC=BC，意味着A、B、C三个角是60°；

2、AD旋转，意味着AE=AD；旋转60°，意味着这也是等边三角形，△ADE中，AD=AE=DE，三个角都是60°；

第一问：判断BD与CE的关系。

证明边的关系，首先想到的思路是：找到边在什么三角形上，通过三角形的相似或全等，就能确定边的关系。

通过观察可以发现，△ADB与△AEC似乎有关系，AD=AE，AB=AC，两条边相等，只需要确定夹角相等，就能确定两个三角形全等，进而证明BD=CE。

第二问：

要求AE、BE、CE的关系，这一问几乎是送分题。因为前面已经知道这是两个等边三角形，所以AE=DE；而且第一问求出CE=BD，AE、BE、CE的关系，就相当于DE、BD、BE的关系。BE=DE+BD=AE+CE。

第三问：

这有一点很难想到。我们先盘点一下已知条件：1、F为BC中点；2、ED=EC。

我们先看，ED=EC意味着什么？因为之前求出CE=BD，所以ED=EC=BD；又因为△ADE是等边三角形，所以ED=EC=BD=AD=AE。这么多条边都相等，你应该在图上清晰的标注出来。

BD=AD，意味着∠ABD=∠BAD。如果能够求出∠ADB，就能求出这两个角。通过观察推测，∠ADB似乎是直角，怎么证明呢？

这时，我们发现，还有一个已知条件没有用到，即F为BC中点。

中点意味着什么？等边三角形的中点意味着什么？我们首先想到连接AF，这是等边三角形ABC的垂直平分线。所以，不管是否能够用上，我们应该动笔连接出来。

但是，到底怎么证明∠ADB是直角呢？这是此题最难的卡点，做出另一条辅助线。

一旦做出这条辅助线，这道题后面的过程就相对比较简单了。

1、AG和AF分别是等边三角形ADE和ABC的垂直平分线，所以∠GAD=∠BAF=30°，所以∠BAD=∠FAG（都加了一个公共角∠FAD）。

2、夹角有了，再看两条边：直角三角形ABF中，AF/AB=sin60°；同理，直角三角形ADG中，AG/AD=sin60°，所以AF/AB=AG/AD。

3、两边成比例，夹角相等，所以△ABD∽△AFG，所以∠ADB=∠AGF=90°。

4、因为之前的推论，AD=BD，所以∠BAD=45°。

答案不是结束，是真正学习的开始

这道题第三问做出两条辅助线是最难的一步，怎么才能想到呢？这才是这道题真正应该总结的地方。

我想，能够想出来这需要几点：

1、根据已知条件推测。当时我们有一个已知条件没有用到，即F是BC中点。中点在这道题中要想使用，应该就是连接AF，构成垂直平分线。在等边三角形中，构造出直角三角形，求出边长之间的关系；

2、根据求解目标逆推。我们已经逆推几步，把求∠BAD转化为求∠ADB是直角。怎么求出一个角是直角？一个可能的思路就是，直角三角形ABD与某一个直角三角形全等或相似。

3、如果我们能够想到相似，根据已知条件，在△ABD中，AB是斜边，AB又与AF有比例关系，那我们就是可顺着AF的思路，构造直角三角形，即做AG垂直于DE。

这是可能想到辅助线的一个思路，总结一下，需要你具备几方面能力：

1、正向推导。即通过已知条件探索解题路径；

2、逆向推导。缩短求解目标和已知条件之间的连接路径；

3、熟悉相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

几何题的难点，往往都是辅助线，凭空构造出连接已知条件和求解目标之间的联系。这当然不能指望灵光乍现，其实是平时的基本功训练和良好的做题习惯。关键的一点是，你平时要多总结做题思路和解题规律，这样才能以不变应万变。

还是那句话：多动笔是学好数学的王道。几何题，你的图画的越清晰，解题思路越明确。

之前题目重做，做不出来，说明没学会