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今有圆田，周三十步，径十步。〔淳风等按：术意以周三径一为率，周三十步，合径（直径）十步。今依密率，合径 九步十一分步之六。〕（圆田相对于长方形的方田呈圆形。一般面积较大，直径1千米左右。它减少了方田往返耕作的转向，有利于大型机械化作业，可以实现耕种、浇灌、施肥、收获的大型机械化、自动化。美国等国家较多，我国新疆也有。） 问为田几何？答曰：七十五步。 S=1/2 〔此于徽术，（刘徽(大约1700年前)是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算术》方田章“圆田术”注中提出把割圆术作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础。刘徽从圆内接六边形开始，将倍数逐次加倍，得到的圆内接正多边形就逐步逼近圆。）当为田七十一步一百五十七分步之一百三。淳风等按：依密率，为田七十一步二十三分步之一十三。〕 又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。〔淳风等按：周三径一，周一百八十一步，径六十步三分步之一。依密率， 径五十七步二十二分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：十一亩九十步十二分步之一。 S=1/2 〔此于徽术，当为田十亩二百八步三百一十四分步之一百十三。淳风等按：依密率，当为田十亩二百五步八十八分步之八十七。〕 （南北朝时祖冲之算出的圆周率的近似值在3.1415926和3.1415927之间，并提出圆周率的疏率(或作约率)为22/7，密率为355/113。祖冲之首创上下限的提法，将圆周率规定在这个界限间。并且他的圆周率精确值在当时世界遥遥领先，直到1000年后阿拉伯数学家阿尔卡西才超过他。所以，国际上曾提议将"圆周率"定名为"祖率"。南北朝科学家祖冲之计算的圆周率的较精确的分数表达近似值，其数值为355/113;与之相对还有一个精确度较低的称约率，数值为22/7。）（徽术不如祖术精确） 术曰：半周半径相乘得积步。（圆的周长是2π r,那么半周就是π r.再乘以半径（r）,就得积步,积步就是面积.整句话的意思是：圆周率×半径×半径=圆的面积.用字母表示：π r²=S） 〔按：半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容 六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。
注：六觚， 就是古代的一种算术工具。古代算筹，长短粗细皆有定分。一握271枚，成六棱柱形，称“六觚”。六觚一握，截面呈六角形（如下图）。（“六觚”，说见《汉书·律历志》）六觚分六瓣，其一瓣所涉及之全部算筹，计五十五枚，此“天地之数”也。或者计算每枚算箸的面积，这涉及到了圆周率圆面积问题。
又按：为图，以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之， 次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥 少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径， 则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推 圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬，故 置诸检括，谨详其记注焉。
割六觚以为十二觚术曰：置圆径二尺，半之为一尺，即圆里觚之面也。令半径一尺为弦，半面五寸为句，为之求股。以句幂二十五寸减弦幂，余七十五寸， 开方除之，下至秒、忽（指丝毫。比喻极为细微。）。又一退法，求其微数。微数无名知以为分子，以十为分 母，约作五分忽之二。故得股八寸六分六厘二秒五忽五分忽之二。以减半径，余 一寸三分三厘九毫七秒四忽五分忽之三，谓之小句。觚之半面又谓之小股。为之 求弦。其幂二千六百七十九亿四千九百一十九万三千四百四十五忽，余分弃之。
开方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以为二十四觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上 小弦幂，四而一，得六百六十九亿八千七百二十九万八千三百六十一忽，余分弃之， 即句幂也。以减弦幂，其余开方除之，得股九寸六分五厘九毫二秒五忽五分忽之 四。以减半径，余三分四厘七秒四忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂六百八十一亿四千八百三十四万九千四百六十六忽，余分 弃之。开方除之，即二十四觚之一面也。
割二十四觚以为四十八觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置上 小弦幕，四而一，得一百七十亿三千七百八万七千三百六十六忽，余分弃之，即 句幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分一厘四毫四秒四忽五分忽之 四。以减半径，余八厘五毫五秒五忽五分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小 股。为之求小弦。其幂一百七十一亿一千二十七万八千八百一十三忽，余分弃之。开方除之，得小弦一寸三分八毫六忽，余分弃之，即四十八觚之一面。以半径一 尺乘之，又以二十四乘之，得幂三万一千三百九十三亿四千四百万忽。以百亿除 之，得幂三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之幂也。割四十八觚以为九十六觚术曰：亦令半径为弦，半面为句，为之求股。置次 上弦幂，四而一，得四十二亿七千七百五十六万九千七百三忽，余分弃之，即句 幂也。以减弦幂，其余，开方除之，得股九寸九分七厘八毫五秒八忽十分忽之九。以减半径，余二厘一毫四秒一忽十分忽之一，谓之小句。觚之半面又谓之小股。
为之求小弦。其幂四十二亿八千二百一十五万四千一十二忽，余分弃之。开方除 之，得小弦六分五厘四毫三秒八忽，余分弃之，即九十六觚之一面。以半径一尺 乘之，又以四十八乘之，得幂三万一千四百一十亿二千四百万忽，以百亿除之， 得幂三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十二觚之幂也。以九十六 觚之幂减之，余六百二十五分寸之一百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十， 即九十六觚之外弧田九十六所，谓以弦乘矢之凡幂也。加此幂于九十六觚之幂， 得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十九，则出圆之表矣。故还就一百九十 二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率而弃其余分。以半径一尺除圆幂，倍之， 得六尺二寸八分，即周数。令径自乘为方幂四百寸，与圆幂相折，圆幂得一百五 十七为率，方幂得二百为率。方幂二百其中容圆幂一百五十七也。圆率犹为微少。案：弧田图令方中容圆，圆中容方，内方合外方之半。然则圆幂一百五十七，其 中容方幂一百也。又令径二尺与周六尺二寸八分相约，周得一百五十七，径得五 十，则其相与之率也。周率犹为微少也。晋武库中汉时王莽作铜斛，其铭曰：律 嘉量斛，内方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六 百二十寸，容十斗。以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微 少。而觚差幂六百二十五分寸之一百五。以一百九十二觚之幂为率消息，当取此 分寸之三十六，以增于一百九十二觚之幂，以为圆幂，三百一十四寸二十五分寸 之四。置径自乘之方幂四百寸，令与圆幂通相约，圆幂三千九百二十七，方幂得 五千，是为率。方幂五千中容圆幂三千九百二十七；圆幂三千九百二十七中容方 幂二千五百也。以半径一尺除圆幂三百一十四寸二十五分寸之四，倍之，得六尺 二寸八分二十五分分之八，即周数也。全径二尺与周数通相约，径得一千二百五 十，周得三千九百二十七，即其相与之率。若此者，盖尽其纤微矣。举而用之， 上法仍约耳。当求一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之幂，而裁其微分， 数亦宜然，重其验耳。淳风等案：旧术求圆，皆以周三径一为率。（圆周周长与直径的比率为三比一。系古代关于圆周率的不太精确的估算。）若用之求圆周之数，则周少径多。用之求其六觚之田，乃与此率合会耳。何则？假令六觚之田，觚间各一尺为面， 自然从角至角，其径二尺可知。此则周六径二与周三径一已合。恐此犹为难晓， 今更引物为喻。设令刻物作圭形者六枚，枚别三面，皆长一尺。攒此六物，悉使 锐头向里，则成六觚之周，角径亦皆一尺。更从觚角外畔，围绕为规，则六觚之 径尽达规矣。当面径短，不至外规。若以径言之，则为规六尺，径二尺，面径皆 一尺。面径股不至外畔，定无二尺可知。故周三径一之率于圆周乃是径多周少。径一周三，理非精密。盖术从简要，举大纲，略而言之。刘徽特以为疏，遂改张 其率。但周、径相乘，数难契合。徽虽出斯二法，终不能究其纤毫也。祖冲之以 其不精，就中更推其数。今者修撰，捃摭诸家，考其是非，冲之为密。故显之于 徽术之下，冀学者知所裁焉。〕 又术曰：周、径相乘，四而一。（周长和直径相乘，再除以4，就可以得到圆的面积。现代圆面积公式为：半径2乘以圆周率=半径2× π； 周长=直径 × π =2×半径× π ；周长 × 直径= 2半径× π ×2半径=4半径2× π 。明显看出这个是4倍的圆面积，所以：周长 × 直径÷4 =圆的面积 ） 〔此周与上觚同耳。周、径相乘，各当一半。而今周、径两全，故两母相乘 为四，以报除之。于徽术，以五十乘周，一百五十七而一，即径也。以一百五十 七乘径，五十而一，即周也。新术径率犹当微少。据周以求径，则失之长；据径 以求周，则失之短。诸据见径以求幂者，皆失之于微少；据周以求幂者，皆失之 于微多。淳风等按：依密率，以七乘周，二十二而一，即径；以二十二乘径，七而一， 即周。依术求之，即得。〕 又术曰：径自相乘，三之，四而一。（径自相乘，三之，四而一”，是中国古代算数书所表述的圆的面积计算方法。意为圆的面S积就是用圆的直径D的平方，乘以三，再除以四。即S=D2 〔按：圆径自乘为外方，三之，四而一者，是为圆居外方四分之三也。若令 六觚之一面乘半径，其幂即外方四分之一也。因而三之，即亦居外方四分之三也。是为圆里十二觚之幂耳。取以为圆，失之于微少。于徽新术，当径自乘，又以一 百五十七乘之，二百而一。淳风等按：密率，令径自乘，以十一乘之，十四而一，即圆幂也。〕 又术曰：周自相乘，十二而一。（这是古人求圆面积的公式，其中圆周率按 3 计算。意思是已知圆的周长，则面积为 周长 〔六觚之周，其于圆径，三与一也。故六觚之周自相乘为幂，若圆径自乘者 九方。九方凡为十二觚者十有二，故曰十二而一，即十二觚之幂也。今此令周自 乘，非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一，所得又非十二觚之幂也。若 欲以为圆幂，失之于多矣。以六觚之周，十二而一可也。于徽新术，直令圆周自 乘，又以二十五乘之，三百一十四而一，得圆幂。其率：二十五者，周幂也；三 百一十四者，周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分，令自乘，得幂三十九万四千 三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之，得此率。淳风等按：方面自乘即得其积。圆周求其幂，假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法，半周及半径以相乘。今乃用全周自乘，故须以十二为母。何 者？据全周而求半周，则须以二为法。就全周而求半径，复假六以除之。是二、 六相乘，除周自乘之数。依密率，以七乘之，八十八而一。〕 今有宛田（这是《九章》提出的一种上径圆穹的曲面的面积公式,历代沿用。魏刘徽指出“此术不验”。），下周三十步，径十六步。问为田几何？答曰：一百二十步。 S=16 又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？答曰：五亩六十二步 四分步之一。 S=99 术曰：以径乘周，四而一。（ 径指两段半径之和，周指弧长，四而一指四分之一，就是(1/4) 〔此术不验，故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺，高四尺。四尺为股， 下方之半三尺为句。正面邪为弦，弦五尺也。令句弦相乘，四因之，得六十尺， 即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥，圆锥见幂与方锥见幂，其率犹方幂之与 圆幂也。按：方锥下六尺，则方周二十四尺。以五尺乘而半之，则亦锥之见幂。故求圆锥之数，折径以乘下周之半，即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹，而与圆锥 同术，则幂失之于少矣。然其术难用，故略举大较，施之大广田也。求圆锥之幂， 犹求圆田之幂也。今用两全相乘，故以四为法，除之，亦如圆田矣。开立圆术说 圆方诸率甚备，可以验此。〕 今有弧田（即圆弓形），弦二十步，矢十五步。问为田几何？答曰：一亩九十七步半。 又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？答 曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。 术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。（若设弦长为b，矢长为h，则圆弓形的面积为
这是一个近似公式，即将其看成是一个以矢、弦分别为上、下底，以矢为高的等腰梯形的面积。） 〔方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半， 则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘 矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法 当应规。今觚面不至外畔，失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚 之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧 可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割 之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲 有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。〕 今有环田（指两个同心圆之间的环形。），中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。〔此欲令与周三径一之率相应，故言径五步也。据中、外周，以徽术言之， 当径四步一百五十七分步之一百二十二也。淳风等按：依密率，合径四步二十二分步之十七。〕 问为田几何？答曰：二亩五十五步。 S=1/2（92+122） 〔于徽术，当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。淳风等按：依密率，为田二亩三十步二十二分步之十五。〕 术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。（环田面积S=1/2(中周+外周)×径。） 〔此田截而中之周则为长。并而半之知，亦以盈补虚也。此可令中、外周各 自为圆田，以中圆减外圆，余则环实也。〕 又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十 二步三分步之二。〔此田环而不通匝，故径十二步三分步之二。若据上周求径者，此径失之于 多，过周三径一之率，盖为疏矣。于徽术，当径八步六百二十八分步之五十一。淳风等按：依周三径一考之，合径八步二十四分步之一十一。依密率，合径 八步一百七十六分步之一十三。〕 问为田几何？答曰：四亩一百五十六步四分步之一。 S=1/2（62+3/4+113+1/2） 〔于徽术，当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周 三径一，为田三亩二十五步六十四分步之二十五。淳风等按：密率，为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕 术曰：置中、外周步数，分母子各居其下。母互乘子，通全步内分子。以中 周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法。除 之为积步。余，积步之分。以亩法除之，即亩数也。 〔按：此术，并中、外周步数于上，分母子于下，母互乘子者，为中外周俱 有余分，故以互乘齐其子，母相乘同其母。子齐母同，故通全步，内分子。半之 知，以盈补虚，得中平之周。周则为从，径则为广，故广从相乘而得其积。既合 分母，还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之，即得积步。不尽，以等数 除之而命分。以亩法除积步，得亩数也。〕
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30
10/2=75（步2）
181
（60+1/3）/2=2,730.083……（步2）=11亩+（90+1/12）（步2）
