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解析几何中，学习了圆的方程以后，都会遇到如下的问题： 例1. 求圆M：x2+y2+2x-3=0与圆N：x2+y2-2x-4y+1=0公共弦所在直线方程。 【分析】若联立两个方程求交点进而求直线方程，运算量太大。我们已经知道直线的方程是个二元一次方程，两点确定一条直线，那么试着去寻找两圆交点都满足的一个二元一次方程即可！ 【解答】设圆M与圆N的交点是A、B，那么点A、B的坐标都满足两圆的方程，所以A、B的坐标满足方程：x2+y2+2x-3-(x2+y2-2x-4y+1)=0（*）； 方程（*）即：x+y-1=0，是个直线方程，所以公共弦AB所在直线方程为：x+y-1=0。
一个多么精巧的解答，充分展示了曲线方程的概念和解析几何的巧妙之处。 但是，聪明的你很快就会发现一个有趣的现象：上面的问题中两圆是相交的，不难理解方程（*）的几何意义；要是两圆相离呢？比如： 例2. 圆M：x2+y2+4x+2y+4=0与圆N：x2+y2-2x-4y+1=0；x2+y2+4x+2y+4-(x2+y2-2x-4y+1)=6x+6y+3=0，即2x+2y+1=0，也是一条直线方程，这条直线与两圆有什么关系呢？ 看来有更本质的意义! 这需要从圆的一个性质说起： 如图，P是圆O外一点，PE、PF切圆于点E、F，PAB是圆的任意一条割线；由切割线定理可知：PA·PB=PC·PD=PE2=PO2-r2（其中r是圆的半径），结果只与点P的位置有关，与割线无关。 如图，Q是圆O内一点，AB、CD、EOF是过点Q弦；由相交弦定理可知：QA·QB=QC·QD=QE·QF=(r-QO)(r+QO)=r2-PO2（其中r是圆的半径），结果只与点Q的位置有关，与弦无关。 所以，对于一个点P和圆O（半径为r），称PO2-r2是点P关于圆O的幂。显然，点P在圆外时，幂值为正（其平方根等于过点P的切线长）；点P在圆内时，幂值为负；点P在圆上时，幂值为零。 在平面直角坐标系xOy中，设点P(x0，y0)，圆O的半径为r，圆心O(a，b)；则点P关于圆O的幂为：(x0-a)2+(y0-b)2-r2。所以，r若圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则x02+y02+Dx0+Ey0+F就是点P关于该圆的幂。 回到例2，2x+2y+1=0等价于x2+y2+4x+2y+4=x2+y2-2x-4y+1，即直线2x+2y+1=0上的点关于圆M和圆N的幂相等，也就是直线上的点关于两圆的切线一样长（如图）；我们称这样的直线是两圆的等幂轴（也叫根轴）。 多么深刻的领悟！！总结一下：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0（圆心不同），那么两圆等幂轴的方程为: (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0；特殊的，当两圆相切时，等幂轴是过切点的公切线；当两圆相交时，等幂轴是公共弦所在直线。易知，等幂轴与圆心连线垂直。 |
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