抛物线

抛物线

 

高考要求：

　　掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质了解圆锥曲线的初步应用．

 

二、知识点归纳

1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

2、抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段的中点．

②焦准距：

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为．

④顶点平分焦点到准线的垂线段：．

⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切．所有这样的圆过定点F、准线是公切线．

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切．所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线．

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切．所有这样的圆的公切线是准线．

3、抛物线标准方程的四种形式：

4、抛物线的图像和性质：

①焦点坐标是：，

②准线方程是：．

③焦半径公式：若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：．

④焦点弦长公式：过焦点弦长．

⑤抛物线上的动点可设为P或或．

5、一般情况归纳：

方程	图象	焦点	准线	定义特征
y2=kx	k>0时开口向右	（k/4，0）	x=－k/4	到焦点（k/4，0）的距离等于到准线x= －k/4的距离
	k<0时开口向左
x2=ky	k>0时开口向上	（0，k/4）	y= －k/4	到焦点（0，k/4）的距离等于到准线y= －k/4的距离
	k<0时开口向下

 

【典型例题】

例1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

（1）过点（－3，2）；

（2）焦点在直线x－2y－4=0上．

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论．

解：（1）设所求的抛物线方程为y²=－2px或x²=2py（p＞0），

∵过点（－3，2），

∴4=－2p（－3）或9=2p·2

∴p=或p=．

∴所求的抛物线方程为y²=－x或x²=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－

（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）

当焦点为（4，0）时，=4，

∴p=8，此时抛物线方程y²=16x；

焦点为（0，－2）时，=2，

∴p=4，此时抛物线方程为x²=－8y

∴所求的抛物线的方程为y²=16x或x²=－8y，

对应的准线方程分别是x=－4，y=2．

点评：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解．

 

例2、如下图所示，直线相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等若为锐角三角形，，建立适当的坐标系，求曲线段 C的方程．

分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围．

解：以MN中点为原点，MN所在直线方程为x轴建立直角坐标系，设曲线方程为

由得：

 ，

又，，

解得

由为锐角三角形，，，

又

故所求曲线方程为：

点评：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力．

 

例3、设抛物线y²=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴证明直线AC经过原点O．

分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证k_OC=k_OA本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决．

证法一：设AB：x=my+，代入y²=2px，得y²－2pmy－P²=0

由韦达定理，得y_Ay_B=－p²，

即y_B=－

∵BC∥x轴，且C在准线x=－上，

∴C（－，y_B）

则k_OC====k_OA

故直线AC经过原点O．

证法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D．

则AD∥EF∥BC连结AC交EF于点N，

则==，=．

∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

∴|EN|===|NF|，l

即N是EF的中点从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O．

点评：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力，在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y_A·y_B=－p²这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目．

 

例4、已知抛物线y²=8x上两个动点A、B及一个定点M（x₀，y₀），F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，线段AB的垂直平分线与x轴交于一点N．

（1）求点N的坐标（用x₀表示）；

（2）过点N与MN垂直的直线交抛物线于P、Q两点，若|MN|=4，求△MPQ的面积．

解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂、y₂），由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得x₁+x­₂=2x₀．

得线段AB垂直平分线方程：

令y=0，得x=x₀+4，所以N（x₀+4，0）

（2）由M（x₀，y₀） ，N（x₀+4，0），|MN|=4，得x₀=2

由抛物线的对称性，可设M在第一象限，所以M（2，4），N（6，0）．

直线PQ：y=x－6，由

得△MPQ的面积是64．

 

例5、已知抛物线与直线相交于A、B两点．

①求证：；

    ②当的面积等于时，求的值．

分析：根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题．

证明：①设 ；

，由A，N，B共线

 ，

又   

解②  由得

 

例6、已知抛物线C：点M是抛物线上任意一点，点F是抛物线的焦点，，（G为准线与x轴的交点）

（1）求证：等腰三角形MNF底边上的高所在直线MK是抛物线的切线；

（2）求证：光线FM在点M的反射光线MB必平行x轴．

证明：（1）设

则   ①

又        ②

 由①②知，直线MK是抛物线在点M的切线．

    （2）令MA为法线，则

+，

为平角所以反射光线MB必平行x轴．

 

例7、如图，ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计），某集团公司准备投巨资建一个大型矩形游乐园PQCN问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积．

解：以M为原点BA所在直线为y轴，如图建系．

设抛物线方程为，

由点D（4，2）在抛物线上， 

故物线方程为

设是曲线MD上任意一点

则， 矩形游乐园面积

，

令得

当 时；当时，

时，S有极大值，

此时，

又时，

所以当游乐园长PN=，宽PQ=时，其面积最大为

 

例8、A，B是抛物线y²=2px（p>0）上的两点，满足OA^OB（O为坐标原点）求证：（1）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

（2）直线AB经过一个定点．

（3）作OM^AB于M，求点M的轨迹方程．

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂，

∵OA^OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，

由此即可解得：x₁x₂=4p²，y₁y₂=－4p² （定值）

（2）直线AB的斜率k===，

∴直线AB的方程为y－y₁=（x－），

即y（y₁+y₂）－y₁y₂=2px，由（1）可得 y=（x－2p），

直线AB过定点C（2p，0）

（3）解法1：设M（x，y），由（2）知y=（x－2p）    （i）

又AB^OM，故两直线的斜率之积为－1，即·= －1  （ii）

由（i），（ii）得x²－2px+y²=0  （x10）

解法2：由OM^AB知点M的轨迹是以原点和点（2p，0）为直径的圆（除去原点），立即可求出．

 

例9、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y²=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．

解：如图，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则x=，y=

又设点A，B，M在准线：x=－1/4上的射影分别为A^/，B^/，M^/，MM^/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA^/|=x₁+，|BF|=|BB^/|=x₂+，

∴x=（x₁+x₂）=（|AF|+|BF|－）3（|AB|－）=．

等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k（x－）．

由得16k²x²－8（k²+2）x+k²=0．

依题意|AB|=|x₁－x₂|=×==3，

∴k²=1/2，此时x=（x₁+x₂）==．

∴y= ±即M（，），N（，－）．

 

小结：

1、求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法．

2、凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．

3、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．

4、圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时，表示椭圆；当e=1时，表示抛物线；当e＞1时，表示双曲线．

5、由于抛物线的离心率e=1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的．

6、抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益．

7、求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程．

8、在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化．

 

【模拟试题】

1、抛物线的焦点坐标为（    ）

A、     B、       C、     D、

2、已知点F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，当最小时，M点坐标是    （     ）

A、     B、       C、     D、

3、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，那么等于 （  ）

A、10            B、8             C、6           D、4

4、抛物线顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线上，则其方程为  （    ）

A、或          B、或

C、或          D、不确定

5、过点（0，2）与抛物线只有一个公共点的直线有 （     ）

A、1条         B、2条          C、3条          D、无数条

6、一个酒杯的轴截面为抛物线的一部分，它的方程为，在杯内放一个玻璃球，要使球触及到杯的底部，则玻璃球的半径的范围为 （    ）

A、    B、     C、     D、

7、抛物线的动弦AB长为，则AB中点M到轴的最短距离是（     ）

A、           B、           C、        D、

8、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则等于 （     ）

A、          B、          C、           D、

9、设抛物线的轴和它的准线交于E点，经过焦点F的直线交抛物线于P、Q两点（直线PQ与抛物线的轴不垂直），则与的大小关系为 （    ）

A、       B、

C、       D、不确定

10、已知抛物线上一定点和两动点P、Q ，当P点在抛物线上运动时，，则点Q的横坐标的取值范围是 （    ）

A、           B、      C、[－3， －1]    D、

11、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B，若A、B在抛物线准线上的射影为，则（    ）

    A、       B、       C、        D、

 

12、在抛物线y²=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为

A、               B、1               C、2                  D、4

13、设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax²的焦点坐标为

A、（a，0）    B、（0，a）   C、（0，）  D、随a符号而定

14、以抛物线y²＝2px（p＞0）的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为

A、相交         B、相离     C、相切         D、不确定

15、以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为___________．

16、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．

能使这抛物线方程为y²=10x的条件是____________．（要求填写合适条件的序号）

17、抛物线的焦点弦AB，求的值．

18、已知抛物线，焦点为F，一直线与抛物线交于A、B两点，且，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）．

    ①求抛物线方程； ②求面积的最大值．

 

【试题答案】

1、答案：A 

解析：从初中学的抛物线（二次函数）到高中的抛物线

2、答案：C

解析：把转化为M到准线的距离，然后求的最小值．

3、答案：B

解析：

4、答案：C

解析：解直线与两轴交点坐标，进而求

5、答案：C

解析：相切与相交均能产生一个公共点

6、答案：C

解析：设圆心A（0，t），抛物线上的点为P（x，y），列出转化为二次函数问题

7、答案：D

解析：可证弦AB通过焦点F时，所求距离最短．

8、答案：C

解析：考虑特殊位置，令焦点弦PQ平行于轴，

9、答案：C．

解析：向量解法：由A、F、B共线得（重要结论），进而得出

10、答案：D

11、答案：C

解析：因为A、F、B三点共线．所以

12、答案：C

解析：抛物线的准线方程为x=－，由抛物线的定义知4+=5，解得p=2．

13、答案：C

解析：化为标准方程．

14、答案：C

解析：利用抛物线的定义．

15、解：中心为（0，0），左准线为x=－，所求抛物线方程为y²=x．又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，－）．

∴|AB|=．

答案：

16、解析：由抛物线方程y²=10x可知②⑤满足条件

答案：②⑤

17、解：由 得

18、解：①设，AB中点

由得

又得

所以  依题意，

抛物线方程为

②由及，

令得

又由和得：