圆的方程以及圆的有关性质

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

圆的方程以及圆的有关性质

 

二、学习目标

1、通过图片欣赏探索确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般方程。能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系；会利用直线方程和圆的方程解决简单的位置关系问题和度量问题；

2、经历具体图形探索，确定圆的几何要素的过程；经历用待定系数法求圆的方程的过程；在学习过程中体会用代数方法处理几何问题的思想；

3、体会转化、数形结合等数学思想和方法。

 

三、知识要点

 

1、圆的定义

①运动的观念：平面内一条线段绕着一个端点旋转，另一个端点形成的轨迹；

其中，静止的端点叫做圆心，线段的长等于半径。

②集合的观念：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心，定长等于半径。

2、圆的方程

①标准形式：圆心为（a，b），半径为r的圆的方程的标准形式是

( x － a ) ² + ( y － b ) ² = r ².

特别地，当圆心在原点的时候，其方程为 x ² + y ² = r ².

②一般形式：x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0. （*）

上式可变形为：（x+）²+（y+）²=.

说明：（1）圆的一般方程体现了圆的方程的代数特点：

a. x²、y²项的系数相等且不为零.

b. 没有xy项.

（2）若D² + E²－ 4F > 0时，（*）式表示的是以为圆心，以为半径的圆；若D² + E²－ 4F = 0时，（*）式表示的是一个点；D² + E²－ 4F < 0时，（*）式不表示任何图形。

3、二元二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

①A=C≠0，②B=0，③D²+E²－4AF＞0.

4、点与圆的位置关系

设圆心为M，半径为R，对于点P

①|PM|=R：点P在圆上；

②|PM|<R：点P在圆内；

③|PM|>R：点P在圆外。

5、求曲线方程的两种方法

①直接法：在不明确曲线是何种曲线的情形下，根据条件，寻找或构造等量关系，列等式，代坐标，得方程。

一般步骤：建系——设点——列等式——代坐标——化简整理

②待定系数法：在明确曲线是何种曲线的情形下，可设出该类型曲线的一般情形，再由条件求出其中的参数即可。

 

四、点与典型例题

考点一  对圆的方程的讨论

例1  设方程x²+y²－2(m+3)x+2(1－4m²)y+16m⁴+9=0。（1）当m为何值时，该方程表示一个圆；（2）当m为何值时，该方程表示的圆的半径最大；（3）该方程表示圆时，求圆心的轨迹方程

解：①由二元二次方程表示圆的条件可知：D² + E²－ 4F > 0，代入可解得：

②由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的半径为，当时有最大值

③由二元二次方程表示圆的条件可知：该圆的圆心坐标为

故得圆心所在曲线方程为：

说明：对含有参变量的圆的方程的讨论是本课的一个重要题型，一定要结合二元二次方程表示圆的条件进行研究。

 

考点二 求圆的方程

例2  设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.

解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得

（1－a²）x²+2c（1+a²）x+c²（1－a²）+（1－a²）y²=0.

当a=1时，方程化为x=0.

当a≠1时，方程化为（x－c）²+y²=（）².

所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；

当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆.

说明：本题采用了直接求法，即根据题给条件，寻找等量关系，然后代入坐标得到方程。主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求. 同时也考查了分类讨论这一数学思想.

 

例3  已知圆心在x轴上，半径是5，且以A（5，4）为中点的弦长是2，求这个圆的方程。

解：设圆心坐标为B（a，0)，以A为中点的弦的一个端点为C，则圆的方程为

(x－a)²+y²=25

由于|AB|²+|AC|²=|BC|²

从而，（a－5)²+16+5=25得a=7或a=3.

故这个圆的方程为

(x－7)²+y²=25或(x－3)²+y²=25

说明：本题采用的是待定系数法，即设出圆的方程，其中含有一个参数a，根据题给条件求出即可。

 

考点三  对圆系方程的研究

例4  已知圆C经过圆的交点且经过原点，求圆C的方程。

解：设圆C的方程为，

因其过原点，故代入原点坐标得：，即圆C的方程为

说明：常见的圆系方程有：

①过定直线两交点的圆系：

②过两定圆交点的圆系：

 

五. 本讲涉及的主要数学思想方法

本讲涉及的主要数学思想方法是解析法，用代数的方法研究圆的有关性质，主要过程是建系——设点——列等式——代入坐标，要注意自变量的取值范围的讨论（如例1的第3小题）。

另外，平面解析几何问题的研究也蕴涵着丰富的数形结合的思想，要注意结合条件画图，结合图形分析几何元素间的联系以寻找变量之间的联系，从而迅速发现解题思路。  

 

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、选择题

1. （2008上海）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（　　　）

A. 　　　　  B.                  C.            D.

2. （2008山东）已知圆的方程为. 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（    ）

A. 10　　　　　B. 20　　　　　　C. 30　　　　D. 40

3. （2008湖北）过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（    ）

A. 16条         B. 17条        C. 32条        D. 34条

*4. 点P（5a+1，12a）在圆（x－1）²+y²=1的内部，则a的取值范围是（    ）

A. ｜a｜＜1                            B. a＜

C. ｜a｜＜                           D. ｜a｜＜

*5. 已知圆的方程为（x－a）²+（y－b）²=r²（r>0），下列结论错误的是（    ）

A. 当a²+b²=r²时，圆必过原点

B. 当a=r时，圆与y轴相切

C. 当b=r时，圆与x轴相切

D. 当b<r时，圆与x轴相交

*6. 方程|x|－1=所表示的曲线是      （    ）

A、一个圆      B、两个圆      C、半个圆       D、两个半圆

7. A=C≠0，B=0是方程Ax²+Bx+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆的（    ）

    A、充分不必要条件    B、必要不充分条件

    C、充要条件          D、既不充分也不必要条件

 

二、填空题

8. （2008广东）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是           ．

9. （2008湖南）将圆沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是________，若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为_____________.

 

三、解答题

10. （2008重庆卷15题改编）已知圆C： （a为实数）上任意一点关于直线l：x－y+2=0的对称点都在圆C上，求a的值。

*11. 已知三角形三边所在直线的方程为x－y+2=0， x－3y+4=0， x+y－4=0，求三角形外接圆的方程。

12. 一圆经过A（4，2），B（－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程。

**13. （2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：

（Ⅰ）实数b 的取值范围；

（Ⅱ）圆C 的方程；

（Ⅲ）圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

 

 

【试题答案】

一、选择题：DBCDD  BB

4、提示：点P在圆（x－1）²+y²=1的内部

（5a+1－1）²+（12a）²＜1

  ｜a｜＜.

答案：D

5、提示：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的. 故选D.

6、提示：两边平方后得

 

二、填空题

8、

9、，

 

三、解答题

10、由题意知，圆C关于直线l：x－y+2=0对称，即圆心C在直线l：x－y+2=0上，从而解得a=－2。

11、分别联立三条直线方程，可求得三角形顶点坐标A（－1，1）、B（1，3）、C（2，2）。由圆的有关性质可知：圆心为AB、AC中垂线的交点，故可求得圆心坐标为：，恰为AC中点，从而这是一个直角三角形，其半径为线段AC长的一半，为，故三角形外接圆的方程为：

12、设圆的方程为x ² + y ² + Dx + Ey + F = 0.

该圆过A（4，2）：20+4D+2E+F=0……………………（1）

过B（－1，3）：10－D+3E+F=0……………………………（2）

又该圆在坐标轴上的四个截距的和为2，故令x=0：y²+Ey+F=0，令y=0：x²+Dx+F=0，

由方程根与系数的关系：x₁+x₂+y₁+y₂=－E+（－D）=2，从而得到D+E=－2………（3）

联立方程（1）（2）（3）可解得：D=－2，E=0，F=－12，故圆的方程为：

x² + y² －2x－12 = 0.

13、【解析】本小题主要考查二次函数的图象与性质、圆的方程的求法．

（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴的交点是（0，b）；

令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．

令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

所以圆C 的方程为.

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．