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一系列新论文描述了如何用相对较少的数据重建重要的动力系统。
阿诺索夫流（Anosov flow）收敛和发散的示意图。 作者：Jordana Cepelewicz 2023-6-15 译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号） 2023-6-21 数学中的许多东西一样，证明始于咖啡。2019年9月，康奈尔大学的凯瑟琳·曼恩（Kathryn Mann）访问了安大略省金斯顿，在皇后大学做客座演讲。之后，她和主人托马斯·巴塞尔米（Thomas Barthelmé）坐下来喝杯咖啡。他想听听她对他正在研究的一个问题的看法，这个问题涉及称为动力系统（dynamical system）的数学模型，这些模型描述了像钟摆的来回运动这样简单的现象，或者像天气随时间演变那样复杂的现象。 不知不觉中，几个小时过去了。“我们只是坐在这家咖啡店里，画着图画，我们每个人都试图弄清楚对方想说什么，”曼恩说。“一开始，我就想，这家伙毫无意义。”但随着他们学会说对方的数学语言，两人都对找到一个解的机会变得更加乐观。 曼恩并不总是喜欢数学——小时候，她不擅长算术——但正是这种对话最终促使她学习数学。虽然最初对从事哲学事业感兴趣，但她意识到这并不合适。对于哲学家来说，“富有成效的讨论意味着用别人的立场来检验你的立场，”她说。“数学正好相反。你和某人交谈，你们从一开始就在同一个团队。如果有人说，'那样行不通，’你会说，'哦，告诉我更多。’我发现这种话语模式要好得多。” 巴塞尔米对称为Anosov流（阿诺索夫流）的特殊动力系统感兴趣，这些系统自然地出现在数学的许多领域，并充当重要的玩具模型。这些系统在同一个地方展示了看似矛盾的属性：混沌和稳定；刚性和柔韧性；在底层拓扑荒野中存在内禀的几何结构。
数学家凯瑟琳·曼恩 起初，康奈尔大学的凯瑟琳·曼恩（Kathryn Mann）想成为一名哲学家。但她更喜欢数学家分享和讨论想法的方式，现在在拓扑学、动力学和群论的交叉领域进行研究。 这些属性中的每一个都出现在数学家几个世纪以来一直想要了解的动力系统中，从行星围绕太阳的运动到疾病在人口中的传播。但在这样的系统中，解开这些不同的特征变得无可救药地复杂。阿诺索夫流在1960年代被定义为研究对象，因为它们极度表现出这些重要行为，使得更易于分析。“你希望一旦你对这个案例有了完美的了解，你就可以回到混沌的现实世界，用新的眼光来对待它，”曼恩说。 “在动力系统理论的开始，阿诺索夫流就像灯塔一样告诉你应该去哪个方向，”法国里昂高等师范学院的艾蒂安·吉斯（Étienne Ghys）说。 然而，它们一直难以理解。尽管数学家在过去60年中取得了很大进展，但他们仍然远未达到曼恩所说的完美图景：对所有不同类型的阿诺索夫流进行分类。 现在，在最近的一系列论文中 https:///abs/2012.11811 ，巴塞尔米和曼恩以及圣路易斯华盛顿大学的史蒂文·弗兰克尔（Steven Frankel）朝着这个难以捉摸的目标迈出了惊人的一步。通过将有关运动和形状的问题翻译成代数语言，他们证明只需相对较少的数据，就可以完全和唯一地确定给定的阿诺索夫流。（他们的结果也适用于相关但更一般的动力系统，称为伪阿诺索夫流（pseudo-Anosov flow）。他们找到了隐藏在所有这些混沌中的结构。 数学家们已经将他们的结果应用于解决有关阿诺索夫流的关键问题——即如何构建它们，以及它们的数量。“有时结果很重要，因为它们确实为这个问题提供了新的观点，”乌拉圭共和国大学的数学家拉斐尔·波特里（Rafael Potrie）说。“这就是这里发生的事情。” 一种几何视角 自19世纪末以来，当亨利·庞加莱（Henri Poincaré）在天体力学方面的工作启动了现代动力系统理论以来，数学家们一直通过几何学的视角来思考动力学。 考虑一个钟摆（pendulum）。它独自一个地垂直悬挂，一动不动。但是如果你抬起它并放手，它会来回摆动。在给定的时刻，钟摆的状态可以通过两条信息来刻画：它与垂直悬挂位置的角度和它的速度。因此，你可以将钟摆的所有可能状态表示为平面上的点，这称为状态空间（state space）。 如果你从这些点中的任何一个开始，一个微分方程（基于牛顿运动定律）会告诉你钟摆的角度和速度将如何随时间变化。这种运动被一条在状态空间中缠绕的曲线或“轨迹”（trajectory）刻画。如果你改变钟摆的起始角度和速度，你将在状态空间中获得不同的轨迹。 你想将所有此类轨迹作为单个数学对象进行研究。这种对动力系统进行编码的几何方式称为“流”（flow）。与其考虑钟摆在空气中划出弧线，不如通过分析流来研究它的行为。在这种情况下，由嵌套的椭圆（每个椭圆表示钟摆可以来回摆动的方式）以及这些椭圆上方和下方的曲线（表示钟摆像纸风车一样快速旋转的场景）组成。 如何画一个流（flow） 数学家从几何角度考虑动力系统（如钟摆）以便理解它们。
没有摩擦力的钟摆会永远来回振荡，并在状态空间中沿着这条轨迹返回。 轨迹与流的映射 一个“流”代表了钟摆所有可能运动的无限多的轨迹。
但是流可能会变得更加复杂，涉及复杂的高维状态空间。以100个粒子在太空中移动和相互作用为例。捕获其行为的流是通过 600 维状态空间的无限多个轨迹的集合。（要描述一个粒子的状态，你需要六条信息：三个数字表示它的位置，三个数字表示速度。因此，一次描述所有100个粒子需要600个数字。） 为了开发研究这些更复杂的系统的工具，数学家需要正确的试验场——系统足够简单，可以理解，但又足够复杂，可以反映他们真正感兴趣的属性。 这就是阿诺索夫流发挥作用的地方。 整体稳定，局部混沌 甚至在庞加莱19世纪的工作改变了动力系统的研究方式之前，数学家就对粒子采用最短路径的系统感兴趣：即所谓的测地线（geodesic）。在平面上，粒子沿着一堆直线；在球体的表面上，它们沿着大圆圈行进。曲面的拓扑或整体形状会影响这些路径的外观。 测地线流描述了粒子在不受任何外力影响时可以移动的所有可能方式。一般来说，状态空间是四维的：其中两个维度对应于粒子的物理位置，而另外两个对应于它的移动速度。但是，如果你愿意抛弃一些信息——例如，如果你不在乎粒子的移动速度有多快，而只关心它在任何时候朝向哪个方向——你可以用三维状态空间来描述它的运动。两个维度描述它的位置，第三个维度代表它面对的方向。这就是数学家经常思考测地线流的方式：作为一个通过三维状态空间的轨迹集合。 这些流激起了数学家的兴趣，原因有很多。自1800年代末以来，它们使几何学家和拓扑学家能够更好地了解非常复杂的曲面的结构——这些曲面太难直接研究，但当你观察粒子如何在曲面上移动时，它们变得更加容易处理。它们对动力学家同样重要，因为物理学中的许多机械系统都可以表示为测地线流。 到20世纪初，法国数学家雅克·哈达马（Jacques Hadamard）开始研究“负曲率”曲面上的测地线流动 - 即在任何给定点看起来像马鞍的曲面。（这也许是不能可视化的，但在数学上很有用。他发现这种测地线流总是混沌的：如果你稍微调整一个粒子的初始位置，它最终将处于一个截然不同的轨迹上，这意味着你无法预测系统的长期行为。（另一方面，球面上的测地线流不具有此属性。） “在某些方面，这些系统...非常混沌，”澳大利亚莫纳什大学的Andy Hammerlindl说。 在1960年代，俄罗斯数学家德米特里·阿诺索夫（Dmitri Anosov）在哈达马的工作基础上观察到，如果你稍微调整定义测地线流的方程，所有的轨迹都会稍微移动一下：你可以在不改变其整体结构的情况下将原始流摆动到新的流中。在典型情况下，这种结构稳定性绝不是可以保证的——但对于这类测地线流来说，这是有保证的。“口号是'整体稳定，局部混沌'，”曼恩说。“在动力学方面，你对这种稳定和混沌的融合非常感兴趣。这两者在许多动力系统中共存，达到了一种微妙而关键的平衡，自庞加莱研究太阳系以来，数学家们一直试图解开这种平衡。 阿诺索夫发现，混沌和稳定性在测地线流中都会自动产生，因为它的轨迹的挤压和伸展会像在太妃糖上绘制的线一样收敛和发散。
在阿诺索夫流的任何给定点，轨迹在一个方向上会聚（以蓝色显示），并在另一个方向上发散（以红色显示）。这种收敛和发散行为发生在阿诺索夫流的每个点上，从而产生了许多其他令人感兴趣的属性。 阿诺索夫通过写下这种类似太妃糖行为的特定数学条件，推广了负曲率曲面上测地线流的概念。这些广义的流现在以他的名字命名。负曲率曲面上的任何测地线流都是一个。但阿诺索夫认为，可能有一连串的动力系统以这种方式运作。 虽然这个定义可能看起来很奇怪，但这种拉伸和压缩可以在许多动力系统中找到。但在这些背景下，它并不那么明显而无处不在。在阿诺索夫流中，类似太妃糖的行为无处不在 - 使其成为一种极端情况，因此是开发新工具和见解的特别好的模型系统。 正如科学家在转向人类之前可能会试图了解果蝇的基因表达一样，数学家已经证明了阿诺索夫流中关于拓扑学、统计学和其他性质的结果，然后将这项工作推广到其他动力系统。例如，在1970年代，数学家利用他们对阿诺索夫流（和相关系统）的了解，对什么样的流可以表现出结构稳定性提出了一个猜想。在1990年代，东京大学的林修平（Shuhei Hayashi）证明了这是真的。https:///wp-content/uploads/2020/03/Shuhei-Hayashi.pdf 鉴别的捷径 阿诺索夫只能想出另一个符合他标准的系统家族。但从那以后，数学家们发现了一个庞大的案例动物园。（其中大多数是三维状态空间中的流。高维阿诺索夫流仍然知之甚少。）
数学家托马斯·巴塞尔米 当巴塞尔米和他的同事证明可以用相对较少的数据重建阿诺索夫流时，他对他们的证明成功发挥作用感到很惊讶。“我认为人们会猜到这不应该是真的，因为这是相当弱的信息，”他说。 数学家希望完全理解阿诺索夫流：找到它们的所有例子，分析它们的结构，评估哪些空间可以支持它们，哪些不能，并确定在给定空间中可以存在多少不同的流。 但要做到这一点，他们首先需要掌握基础知识——这包括找到一种表征给定阿诺索夫流的好方法。 这就是巴塞尔米、弗兰克尔和曼恩三人现在所做的。 把阿诺索夫流想象成一个由无限多个轨迹组成的复杂线团，它们像纱线一样共同填充了一个三维状态空间。这个状态空间就是所谓的流形（manifold）。如果你放大它的任何部分，它看起来像规则的三维空间，但在整体范围内，它可能有一个非常复杂的结构，充满了洞和其他奇怪的特征。 流形中的一些轨迹会回到自己身上，表示粒子最终如何返回其初始状态（在曲面上占据相同的位置并指向相同的方向）。然而，大多数轨迹永远不会回到同一个点：它们没有形成一个封闭的轨迹，而是无限地蜿蜒，形成一条永远展开的线。 三位数学家证明，对于大多数阿诺索夫流（以及伪阿诺索夫流），只知道封闭的或“周期性”（periodic）的轨迹，就可以完全确定整个系统。“你不会因为去做这个更简单的事情而损失很多，”弗兰克尔说。“它实际上是在刻画所有信息。”有一些例外，但在这些情况下，三人表明你只需要一条额外的信息来表征流。 这项工作提供了一种判断两个不同流是否等价的方法——也就是说，是否有一种特定的数学方法可以将一个流中的每个轨迹转换为另一个流中的轨迹。你不能一个一个地手动检查；你需要一个捷径，一种用较少的信息识别流的方法。 为了获得这个捷径，巴塞尔米、弗兰克尔和曼恩转向拓扑学家经常使用的代数中的关键工具：基本群（the fundamental group）。 代数的翻译 基本群实际上是流形（及其所有组合）上的回路列表，它们对有关流形形状的信息进行编码。考虑一个甜甜圈或圆环的表面——一个二维流形。你可以通过从圆环上的一个点开始，穿过洞，然后回到开始的地方来构建一个回路。如果你不是穿过洞，而是绕过它，你就形成了第二个回路。环面的基本群是这两个环的集合及其所有组合（例如，你可以想象绕洞两次，或者穿过洞一次然后绕圈，等等）。3维流形的基本群变得更加复杂。 给定阿诺索夫流中的每个周期轨迹对应于基本群中表示的一类回路。根据这三人的说法，对于大多数阿诺索夫（和伪阿诺索夫）流，知道这个子集足以让你重建整个流。你甚至不需要知道某些轨迹是否交织在一起，或者给定的周期轨迹有多少个副本。仅从周期数据中，你就可以构建流 — 首先获取对流的各个方面进行编码的一维和二维对象，最后获取三维流本身。
数学家史蒂文·弗兰克尔 圣路易斯华盛顿大学的史蒂文·弗兰克尔（Steven Frankel）被阿诺索夫流所吸引，因为它们使他能够测试复杂动力系统的新方法。 “这对我来说是一个惊喜，”巴塞尔米说。“我认为人们会猜到这不应该是真的，因为它是相当弱的信息。 这就是这项工作如此吸引人的原因。“如果你随机选择一个轨迹，它会密集地填满空间。周期性轨迹不会这样，它们回到它们开始的地方，看不到大部分空间，“芝加哥大学的艾米·威尔金森说。然而，如果你把这些周期性的轨迹放在一起，你就可以理解流的完整结构。“这就是结果的美妙之处。” 在阿诺索夫流中仍有无限多的周期轨迹。但这个无限的数是“可数的”——一种比“不可数”的轨迹总数要小的无穷大。这类似于数字 1 和 2 之间有无限多个分数，但在该区间内有更多无理数，如 √2。因此，将流简化为其周期轨迹即可用于评估两个系统是否等价。 这三人也发现了他们规则的例外：在某些情况下，两个流可能不同，同时具有相同的周期轨迹。但事实证明，这些异常具有非常特殊的结构，数学家能够确定只需要再提供一条信息来表征它们。 自从去年年底完成他们的证明以来，巴塞尔米和曼恩与佛罗里达州立大学的数学家塞尔吉奥·芬利（Sergio Fenley）合作，他对阿诺索夫流进行了大量研究，以充分表征这些异常。在他们尚未在网上发布的一篇新论文中，他们列出了导致这些更复杂的流的情况。在这过程中，他们不仅依赖于之前的结果，而且还最终构建了新的流，这些流共享一个有趣的属性：它们不能通过它们的周期数据来完全表征。“这太神奇了，”波特里说。“这就像天文学：有时你正在研究行星的轨道，通过更好地了解它们，你会发现那里应该有一些你不知道的行星。这告诉你把望远镜对准，这样你就能看到它。我认为这也发生在这项工作中。” “它实际上提供了一种非常干净的方式来结束这个主题，”芬利说。“有一种坏的对象可能发生，但事实证明，坏的对象并没有那么糟糕。” 计数和分类 包括波特里和芬利在内的几位数学家已经使用这三人的结果来完成有关相关动力系统的其他证明。 巴塞尔米和曼恩也利用他们的工作在关于阿诺索夫流的最大悬而未决的问题之一上取得了进展：给定的3维流形是否有可能支持无限数量的不同阿诺索夫流？ 正如河岸的轮廓会影响河流中水的可能流动方式一样，流形的结构也会影响可能的动力系统流的类型。（湍流不会出现在宽阔、平坦的平面上。） 人们早就知道，许多3维流形根本不能作为任何阿诺索夫流的状态空间。几年前，曼恩和德国雷根斯堡大学的数学家乔纳森·鲍登（Jonathan Bowden）证明，对于你选择的任何有限数量（15000或者1500万个，或者150亿个）的不同的流，——你都可以找到一个至少有这么多不同流的3维流形。https:///abs/1909.02324 （另一组独立证明了这一点。https:///abs/1408.3951 ） 但是仍然不知道你是否能找到一个具有无限多个不同阿诺索夫流的流形。巴塞尔米和曼恩通过将他们的新工作与称为切触几何（contact geometry）领域的其他最新结果相结合，证明了一个特例。“在这个界面肯定有事情在酝酿，”塔夫茨大学的鲍里斯·哈苏布拉特（Boris Hasselblatt）说。“这是新的，令人兴奋的。” 这一切都有望有助于实现对阿诺索夫流（包括高维流）进行分类的长期目标。但它也为研究提供了新的方向，并使数学家更好地理解拓扑和动力学之间的关系。根据波特里的说法，研究这些周期性数据及其相应的群结构本身将是很有趣的。“有很多问题被打开，只是因为他们定义了这个对象，这个提炼物，”他说。“现在我们需要了解它。” 让数学 更加 易学易练， 易教易研， 易赏易玩， 易见易得， 易传易及。 |
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