【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2-9　指、对、幂的大小比较[培优课]

§2.9　指、对、幂的大小比较

指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．

题型一　直接法比较大小

命题点1　利用函数的性质

例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>c>b                                           B．a>b>c

C．c>b>a                                           D．b>c>a

答案　C

解析　因为函数y＝^x是增函数，

所以<，即a<b，

又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，

所以<，

所以b<c，故c>b>a.

命题点2　找中间值

例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log₅3，b＝，c＝7^－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c                                           B．a>c>b

C．b>a>c                                           D．c>b>a

答案　C

解析　因为1＝log₅5>log₅3>log₅＝log₅＝，

即<a<1，

b＝>2⁰＝1,7^－0.5＝<＝，

即0<c<，所以b>a>c.

命题点3　特殊值法

例3　已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是(　　)

A．a^c<b^c                                            B．ab^c<ba^c

C．alog_bc<blog_ac                                D．log_ac<log_bc

答案　C

解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，

则a^c＝，b^c＝，

∴a^c>b^c，故A错误；

ab^c＝4×＝，ba^c＝2×＝，

∴ab^c>ba^c，故B错误；

log_ac＝log₄＝－1，log_bc＝log₂＝－2，alog_bc＝－8，blog_ac＝－2，

∴alog_bc<blog_ac，log_ac>log_bc，故C正确，D错误．

思维升华　利用特殊值作“中间量”

在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log₂3，可知1＝log₂2<log₂3<log₂4＝2，进而可估计log₂3是一个1～2之间的小数，从而便于比较．

跟踪训练1　(1)已知a＝0.6^0.6，b＝lg 0.6，c＝1.6^0.6，则(　　)

A．a>b>c                                          B．a>c>b

C．c>b>a                                           D．c>a>b

答案　D

解析　因为y＝x^0.6在(0，＋∞)上单调递增，

所以1.6^0.6>0.6^0.6>0，

又b＝lg 0.6<lg 1＝0，

所以c>a>b.

(2)已知a＝，b＝log₃4，c＝3^－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c                                           B．c>b>a

C．b>a>c                                           D．a>c>b

答案　A

解析　因为a＝＝log₃，＝3⁴＝81>4³＝64，且函数y＝log₃x在(0，＋∞)上单调递增，

所以log₃>log₃4，即a>b.

又因为b＝log₃4>log₃3＝1，c＝3^－0.1<3⁰＝1，

即b>c，所以a>b>c.

题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小

例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c                                           B．c<b<a

C．b<c<a                                           D．c<a<b

答案　A

解析　c＝>＝1，

a＝＝＝，b＝＝，

因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，

所以a<b，

又<⁰＝1，即b<1，

所以a<b<c.

(2)(2020·全国Ⅲ)已知5⁵<8⁴，13⁴<8⁵.设a＝log₅3，b＝log₈5，c＝log₁₃8，则(　　)

A．a<b<c                                           B．b<a<c

C．b<c<a                                           D．c<a<b

答案　A

解析　∵log₅3－log₈5＝log₅3－＝

<＝

<＝0，

∴log₅3<log₈5.

∵5⁵<8⁴，13⁴<8⁵，

∴5log₈5<4，4<5log₁₃8，

∴log₈5<log₁₃8，

∴log₅3<log₈5<log₁₃8，即a<b<c.

思维升华　求同存异法比较大小

如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．

跟踪训练2　(1)已知a＝2¹⁰⁰，b＝3⁶⁵，c＝9³⁰(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c                                           B．b>a>c

C．b>c>a                                           D．c>b>a

答案　B

解析　c＝9³⁰＝3⁶⁰，

a＝2¹⁰⁰⇒lg a＝lg 2¹⁰⁰＝100lg 2≈30.1，

b＝3⁶⁵⇒lg b＝lg 3⁶⁵＝65lg 3≈31.011 5，

c＝9³⁰⇒lg c＝lg 3⁶⁰＝60lg 3≈28.626，

所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.

(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log₆3，b＝log₈4，c＝log₁₀5，则(　　)

A．b<a<c                                           B．c<b<a

C．a<c<b                                           D．a<b<c

答案　D

解析　由题意得，

a＝log₆3＝log₆＝1－log₆2＝1－，

b＝log₈4＝log₈＝1－log₈2＝1－，

c＝log₁₀5＝log₁₀＝1－log₁₀2＝1－，

因为函数y＝log₂x在(0，＋∞)上单调递增，

所以log₂6<log₂8<log₂10，

则>>，

所以a<b<c.

题型三　构造函数比较大小

例5　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c                                           B．b<a<c

C．a<c<b                                           D．b<c<a

答案　B

解析　a＝＝，c＝＝，

令f(x)＝，

∴a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，

∴f′(x)＝，

∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，

∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，

∴f(x)_max＝f(e)＝＝c，

∴a<c，b<c，

又b＝＝＝＝f(4)，

∵4>，

∴f(4)<f ，∴b<a，

∴b<a<c.

(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e^0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　)

A．a<b<c                                           B．c<b<a

C．c<a<b                                           D．a<c<b

答案　C

解析　设u(x)＝xe^x(0<x≤0.1)，

v(x)＝(0<x≤0.1)，

w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤0.1)．

则当0<x≤0.1时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0.

①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]

＝lnx＋x－[lnx－ln(1－x)]

＝x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，

则f′(x)＝1－＝<0在(0,0.1]上恒成立，

所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，

所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0，

即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，

所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]．

又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，

所以u(0.1)<v(0.1)，即0.1e^0.1<，

所以a<b.

②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xe^x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，

则g′(x)＝(x＋1)e^x－

＝(0<x≤0.1)．

设h(x)＝(1－x²)e^x－1(0<x≤0.1)，

则h′(x)＝(1－2x－x²)e^x>0在(0,0.1]上恒成立，

所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，

所以h(x)>h(0)＝(1－0²)×e⁰－1＝0，

即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，

所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，

所以g(0.1)>g(0)＝0×e⁰＋ln(1－0)＝0，

即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，

所以0.1e^0.1>－ln 0.9，即a>c.

综上，c<a<b，故选C.

思维升华　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．

跟踪训练3　(1)(2022·济南模拟)已知a＝6⁸，b＝7⁷，c＝8⁶，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b>c>a                                           B．c>b>a

C．a>c>b                                           D．a>b>c

答案　D

解析　令f(x)＝(14－x)ln x，

则f′(x)＝－ln x＋－1.

因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减，

所以f′(x)＝－ln x＋－1在(0，＋∞)上单调递减．

而f′(5)＝－ln 5＋－1>0，f′(6)＝－ln 6＋－1<0，

所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.

所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减．

所以f(6)>f(7)>f(8)，

即8ln 6>7ln 7>6ln 8，

故6⁸>7⁷>8⁶.故a>b>c.

(2)(2023·南昌模拟)设a＝e^1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则(　　)

A．a<b<c                                           B．a<c<b

C．b<a<c                                           D．c<a<b

答案　B

解析　∵(e^1.3)²＝e^2.6<e³<3³，(2)²＝28>3³，

∴e^1.3<2，∴a<0；

b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)，

令f(x)＝2－2－lnx，

∴f′(x)＝－＝，

∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

∴f(x)_min＝f(1)＝0，

∴f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0，

∴c<b，

又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0，

∴a<c<b.

课时精练

1．设a＝，b＝²，c＝log₂，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b<a<c                                           B．c<a<b

C．b<c<a                                           D．a<c<b

答案　B

解析　a＝＝>1，且<²＝b，

又c＝log₂<log₂2＝1.

故c<a<b.

2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log₅2，b＝log₈3，c＝，则下列判断正确的是(　　)

A．c<b<a                                           B．b<a<c

C．a<c<b                                           D．a<b<c

答案　C

解析　a＝log₅2<log₅＝＝log₈2<log₈3＝b，即a<c<b.

3．设a＝log₂3，b＝2log₃2，c＝2－log₃2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<c<a                                           B．c<b<a

C．a<b<c                                           D．b<a<c

答案　A

解析　由c＝2－log₃2＝log₃9－log₃2＝log₃>log₃4＝2log₃2＝b，

a－c＝log₂3＋log₃2－2>2－2＝2－2＝0，

所以a>c，所以b<c<a.

4．(2023·潍坊模拟)若3^x＝4^y＝10，z＝log_xy，则(　　)

A．x>y>z                                           B．y>x>z

C．z>x>y                                            D．x>z>y

答案　A

解析　因为3^x＝4^y＝10，

所以x＝log₃10>log₃9＝2；1＝log₄4<y＝log₄10<log₄16＝2，

则1<y<2，所以x>y>1，

而z＝log_xy<log_xx＝1，

所以x>y>z.

5．设x，y，z为正实数，且log₂x＝log₃y＝log₅z>1，则，，的大小关系是(　　)

A.<<                                             B.<<

C.<<                                             D.＝＝

答案　B

解析　由x，y，z为正实数，

设log₂x＝log₃y＝log₅z＝k>1，

可得x＝2^k>2，y＝3^k>3，z＝5^k>5.

∴＝2^k－1>1，＝3^k－1>1，＝5^k－1>1，

令f(x)＝x^k－1，

∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(2)<f(3)<f(5)，

即<<.

6．(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c<b<a                                           B．a<b<c

C．b<a<c                                           D．b<c<a

答案　D

解析　a＝sin 2>sin ＝>，

＝e³>2⁴⇒>2⇒＝>ln 2，

即b<，∴a>b；

∵＝＝，³＝，

∴>，

∴c>b；

∵⁶＝，＝＝，

∴>，

∴a>c，∴b<c<a.

7．设a＝，b＝9sin ，c＝，则(　　)

A．b<a<c                                           B．b<c<a

C．c<a<b                                           D．c<b<a

答案　B

解析　令f(x)＝sinx－x，

则f′(x)＝cosx－1≤0，

所以f(x)为减函数，

所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sin x<x，

所以b＝9sin <9×＝<1，

又a＝>＝1，c＝>＝1，且a⁴⁵＝10⁵，c⁴⁵＝3⁹＝3×9⁴<10⁵，

所以b<c<a.

8．已知a＝5ln 4^π，b＝4ln 5^π，c＝5ln π⁴，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c<b<a                                           B．c<a<b

C．b<a<c                                           D．a<b<c

答案　C

解析　令f(x)＝(x≥e)，

则f′(x)＝，

可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，

∴>，

∴5ln 4^π>4ln 5^π，∴a>b，

同理可得>，

∴4ln π>πln 4，

∴π⁴>4^π，

∴5ln π⁴>5ln 4^π，

∴c>a，∴b<a<c.

9．(2022·赣州模拟)已知e^a＝9.1^11.1，e^b＝10.1^10.1，e^c＝11.1^9.1，则(　　)

A．a>c>b                                           B．c>a>b

C．b>a>c                                           D．a>b>c

答案　D

解析　由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，

令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，

则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋，

所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，

又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0，

所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，

所以f(x)在[－1,1]上单调递增，

所以f(1)>f(0)>f(－1)，

即a>b>c.

10．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　)

A．c>b>a                                           B．b>a>c

C．a>b>c                                           D．a>c>b

答案　A

解析　因为b＝cos ＝1－2sin²，

所以b－a＝1－2sin²－＝－2sin²＝2.

令f(x)＝x－sinx，

则f′(x)＝1－cosx≥0，

所以函数f(x)在R上单调递增，

所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，

即有x>sin x(x>0)成立，

所以>sin ，得>sin²，所以b>a.

因为＝＝4tan ，

所以令g(x)＝tan x－x，

则g′(x)＝－1＝≥0，

所以函数g(x)在定义域内单调递增，

所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，

即有tan x>x(x>0)成立，

所以tan >，即4tan >1，

所以>1，又b>0，所以c>b.

综上，c>b>a.