聊聊思维训练——变中有不变

在学习数学或用数学解决问题的过程中，会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，从而发现数学的本质。也被称为变中有不变的数学思想。

如：除法、分数和比，表面有很大的不同：除法是一种运算，分数是一种数，比表示一种关系。但实际在本质上，它们有一致的一面：都可以表示两种数量之间的关系。这也是从本质上去认识除法、分数和比之间的关系。

如，把1、3、5、7、8填入下面的方框里，使等式成立。

□+□-□=□+□，你有几种填法？

对于一年级学生来说，是有些难度。但要抓住和不变的本质，便可以顺利解决问题。

□+□-□=□+□ → □+□=□+□+□

再如，有一堆糖果，其中奶糖占45%，再加入16块水果糖后，奶糖就占25%了。这堆糖中有奶糖多少块？

显然，加入的是水果糖，奶糖数量并没有发生变化。这就是我们解决问题的抓手。

加入水果糖前，奶糖与水果糖的比是45:55；加入水果糖后，奶糖与水果糖的比是25:75。

把这两个比化简为：45:55=9:11，25:75=1:3。因为奶糖数量没有发生变化，因此利用比的基本性质，可以把它们的前项化为同一个数，即

45:55=9:11，25:75=1:3=9:27

两个后项的份数之差，就对应着加入的16块水果糖。于是得到一份数是16÷（27-11）=1（块），所以奶糖有9×1=9（块）。

当然，把奶糖数量看作单位“1”，利用分数来解答也很好。

数学学习，无论是获得知识技能、掌握思想方法，还是培养思维能力，都需要透过情境、信息等表面现象去抓住数学中不变的本质。因此，借助变中有不变的思想去抓住数学的本质，是我们解决数学问题的一个重要法宝，也是培养数学思维能力的重要途径。