【原】​带电细杆的电势

如果一个电荷系统的电荷分布范围延伸至无穷远，就必须先计算这个电荷系统激发的电场强度，再用电势的定义式计算电势。

电势叠加原理向我们提供了一个计算任意分布的带电体激发的电势的便利方法，但是，并不是所有的电荷系统都能够用这种方法计算电势。

用电势叠加的方法计算任意带电体激发的电势有一个隐含的前提条件：当我们将任意带电体分割成无数块无穷小的元电荷时，必须能够找到所有这些元电荷的共同的电势零点。对于分布在有限的空间区域中的电荷系统，这个要求是很容易达成的。比如说，对一个无边界的问题，无穷远点就是这些元电荷的共同的电势零点。然而，如果电荷的分布区一直延伸到无穷远，比如说无限长的带电细杆和圆柱面等带电体，就很难找到其上每一个元电荷的共同的电势零点。尽管对于那些位于有限区域范围的元电荷而言，可以选择无穷远点作为电势的零点，但是，对于那些延伸至无穷远处的元电荷，它们的电势零点肯定不可能是无穷远点。

由此看来，对于那些分布范围延伸至无穷远的电荷系统，只能使用电势的定义式计算电势，这就意味着必须先计算这些电荷系统激发的电场强度。虽然计算电场强度相较于计算电势从技术上看困难得多，但是，由于电场不存在零点的概念，任意电场可以随意地按照矢量方式叠加，因此，场强叠加的方法适用于任何电荷系统，包括那些延伸至无穷远的电荷系统。当然，代价就是牺牲计算的便捷性。

作为一个简单实例，我们来计算一根无限长均匀带电细杆激发的电势，这显然不是一个可以用电势叠加的方法实施的计算，只能用电势的定义式求解。

我们知道，一根无限长均匀带电细杆在空间中激发的电场强度

由于在这个问题中电荷的分布延伸至无穷远，没有任何先前的经验告诉我们该如何确定电势的零点。因此，必须用待定零点的公式求解：

把电场强度的表达式代入积分式中，仿照在点电荷的电势一文中使用的方法，将路径的微分按径向和横向分解：

由此得到不定积分的结果：

确定电势零点的原则一般是，使得电势的最终表达式达至最简的形式。观察上述电势的积分结果发现，电势与距离成简单的对数关系。在物理学中，一个物理量的量纲必定是基本物理量的量纲的整数幂次。由于这个原因，在一个物理公式中，对数内的量必须为无量纲的量。为了使电势表达式中的对数关系满足这个要求，积分常数必定包含了能消除对数中的量纲的因子。由电势的表达式不难推断，这个因子必定是长度的对数式。另一方面，如果设想在以细杆为轴线的一个半径 为任意的圆柱面上电势等于零：

则可以得到一个满足上述要求的积分常数：

于是，一根无限长的均匀带电细杆激发的电势的表达式必定以这样一种最简的形式出现：

再看一个相似的例子，一管半径为 的无限长均匀带电圆筒，它在空间中激发的电场强度

由于电场强度的表达式在圆筒的内部和外部并不相同，求电势时需要对两个区域分别进行计算。

先看圆筒外的空间区域。由于圆筒外电场强度的表达式与无限长带电细杆的表达式相同，可以预料，在这个区域，电势的表达式也必定相同，电势的零点取在与圆筒同轴、半径为 的圆柱面上。当然，如果没有这个确定电势零点的经验，也可以用待定零点的方法求解，这个方法就交给大家实施吧。

由于已经确定了电势的零点，圆筒内部空间的电势分布就可以直接用定积分的计算公式求解，但需要注意，在进行积分的过程中，电场强度在跨越带电圆筒边界时将发生突变：

这个结果显示，在无限长均匀带电圆筒的内部区域，各个空间点上的电势相等。

观察电势的表达式不难看出，如果将电势的零点定在带电圆筒的表面：，则电势的表达式呈现最简的形式：

我们看到，在无限长均匀带电圆筒的内部空间中，电势恒等于零。

电势在整个区域内等于一个常数的这种区域被称为等势体，与等势体相关的另一个概念是等势面，我们会在不久的将来讨论这个问题。关于等势面的概念，以及与之相关的知识，也可以参考另一篇文章：《标量函数的方向导数》。