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专题05 全等之手拉手模型精练 一．手拉手之等边类 1．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，点B、D、E在一条直线上，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（ ） A．55° B．50° C．45° D．60° 2．如图，△ABC，△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm，3cm，B，C，D三点在同一条直线上，下列结论：①AD＝BE；②△CFG为等边三角形；③CMcm；④CM平分∠BMD．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 4．已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC＝∠ADE＝α，线段BD、CE交于点M． （1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE ①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由； ②求∠BMC的大小（用α表示）； （2）如图2，若AB＝BC＝kAC，AD＝ED＝kAE，则线段BD与CE的数量关系为 ，∠BMC＝ （用α表示）； （3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC＝ （用α表示）． 5．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°． （1）求证：AC＝BD． （2）求∠APB的度数． 6．图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C′重合）的图形． （1）操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则可证△CBE≌△CAD，依据 ，进而得到线段BE＝AD，依据 ． （2）操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3． ①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系； ②求∠APB的度数． （3）若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角度α（0＜α＜360°），当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案． 二．手拉手之等腰类 7．如图，已知D为等腰Rt△ABC的腰AB上一点，CD绕点D逆时针旋转90°至ED，连接BE，CE，M为BE的中点．则当tan∠EDA时， ． 8．（1）问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠DOC＝50°，连接AC，BD交于点P，且AC交OB于点E．①的值为 ；②∠APB的度数为 ； （2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝30°，连接BD，交AC的延长线于点P，且AC交OB于点E．请计算的值及∠APB的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点P，若OC＝1，OA，请直接写出点D与点P重合时BD的长． 9．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ； （3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由． 10．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．点D是BC边上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转90°到AE，连接CE． （1）求证：CD+CECA． （2）如图2，连接DE，交AC于点F． ①求证：CD·CE＝CF·CA； ②当△CEF是等腰三角形时，请直接写出BD的长． 11．综合与实践 （1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由． （2）类比探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为 ； ②线段CM，AE，BE之间的数量关系为 ． （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为 ． 三．手拉手之四边形 12．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）探究猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为： ； ②BC、CD、CF之间的数量关系为： ； （2）深入思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝2，CDBC，请求出OC的长． 13．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 14．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论是 （填序号） 15．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ） A．2.5 B． C． D．2 16．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG． （1）发现 ①线段DE、BG之间的数量关系是 ； ②直线DE、BG之间的位置关系是 ． （2）探究 如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用 如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB＝4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值． 四．手拉手之综合 类 17．如图，等边△ABC的边长为6，点D在边AB上，BD＝2，线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE，连接DE交AC于点F，连接AE．下列结论：①四边形ADCE面积为9；②△ADE外接圆的半径为；③AF：FC＝2：7；其中正确的是（ ） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 18．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（ ） ①△BEC≌△AFC； ②△ECF为等边三角形； ③∠AGE＝∠AFC； ④若AF＝2，则． A．1 B．2 C．3 D．4 19．【特例感知】 （1）如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是 ； 【类比迁移】 （2）如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α（0°＜α＜90°），那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若AB＝8，点C是线段AB外一动点，AC＝3，连接BC． ①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是 ； ②若以BC为斜边作Rt△BCD（B，C，D三点按顺时针排列），∠CDB＝90°，连接AD，当∠CBD＝∠DAB＝30°时，直接写出AD的值． 20．在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，直线AC与BD交于点M． （1）如图1，若∠OAB＝∠OCD＝45°，求的值； （2）如图2，若∠OAB＝∠OCD＝α，求的值（用含α的式子表示）； （3）若∠OAB＝∠OCD＝30°，OD＝2，OB＝4，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长． 21．【问题探究】 如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明． 【深入探究】 （1）如图2，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】 （2）如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC，BC＝3，则CD长为 ； （3）如图4，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，3）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为 ． 22．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在线段BC上（不与点B、点C重合）运动，以AP为腰在AB上方作等腰直角△PAD，DE⊥AC于点E，且与AB交于点M． （1）求证：△AMD≌△PCA； （2）如图2，DM交AP于点N，连接PM，证明：PM+2AE＝DM； （3）当PC＝2BP时，猜想PM与EN的数量关系并证明． |
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