【原】微分方程在动力学问题中的应用

高种阶段有关微积分的知识，涉及面还是比较广的，教材中碰到这方面的知识时，通常一句由理论和实验可证明，摆明结论就完事了。个人感觉，教材若在附录中把这些正文中涉及到的超纲知识详细的补充一下，对一些思维发达的同学是可以通过自学来掌握的，学有余力者可以进一步探索大学的普物教材。对于有的学校，资源受限，没办法开展竞赛辅导，起码有素材让学生自主翻阅，也算是中学和大学普物的衔接吧！

具体涉及到的微积分知识，求导、求积分的运算、齐次微分方程。牛顿第二定律是一个瞬时表达式，写成微分形式则加速度表示为速度的求导。例如本题，空气阻力为变力，则需将牛顿第二定律写成微分形式，求速度随时间的变化规律则需将微分表达式进行一番操作后再积分。

初次接触微积分符号，有些同学有个难以解答的疑问是微分、积分符号是干什么用的？通俗一点解释：只要理解了微分、积分的涵义，那个符号就表示对应的涵义。和加减乘除符号表示对应的意思同理。符号是一种很好的数学语言，熟悉了也就习惯了。和小学生第一次在数学课上碰到加减号时心中产生的小疑问一样，初次涉及新事物有点小不适应纯属正常，我曾经在初中刚学负数时对小数也能减大数一样感觉不可思议，后来虚数开平方就感觉太正常了。数学王国没有不能办的事，只是如何办的问题。一个阶段不理解的事，在更高的阶段根本就不是个事。通过本题只是想说明，有志于将高中物理稍微扩展一下，将来搞点竞赛、强基，数学上的这些微积分知识要掌据一下。

大致归纳一下高中物理知识哪些地方需要用到微积分知识。

计算万有引力、库力做功时需要用到积分知识，顺便可以推导出引力势能及点电荷电势的表达式，当然、“二宇”也就捎带出来了。

交变电流的有效值需要积分知识，掌握了可以深刻理解有效值与平场值的不同。

LC振荡电路、简谐运动的周期需要解微分方程。

这些数学只是数学中极少的一部分，花点时间掌握了，对于物理教材中没及到的知识，理解就会上一个层次。

例题：质量为m的雨滴从高空直线下落，所受的空气阻力大小与雨滴雨滴下落的速度大小成正比，比例系数为k，分析雨滴在下落过程中的速度大小随时间的变化规律。