2023年中考考前最后一课-数学

一、考前预测篇

【考前预测篇1】热点试题精做

一、单选题

1．（2023·东营区一模）（﹣1）²⁰²³的相反数是（　　）

A．﹣1       B．1       C．﹣2023       D．2023

【考点】有理数的乘方；相反数．版权所有

【分析】先求出（﹣1）²⁰²³的值，再确定相反数即可．

【解答】解：∵（﹣1）²⁰²³＝﹣1，﹣1的相反数是1，

∴（﹣1）²⁰²³的相反数是1．

故选：B．

2．（2023·梁园区一模）中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（　　）

A．61345.05×10⁸       B．0.6134505×10¹³      

C．6.134505×10¹²       D．6.134505×10¹¹

【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有

【分析】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：61345.05亿＝6134505000000＝6.134505×10¹²．

故选：C．

3．（2023·京口区模拟）下列计算正确的是（　　）

A．a²+a²＝2a⁴       B．a²·a³＝a⁶      

C．（a²）³＝a⁵       D．3ab+2ab＝5ab

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．版权所有

【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、a²+a²＝2a²，故A不符合题意；

B、a²·a³＝a⁵，故B不符合题意；

C、（a²）³＝a⁶，故C不符合题意；

D、3ab+2ab＝5ab，故D符合题意；

故选：D．

4．（2023·泰山区一模）如图，三角形板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数是（　　）

         

A．35°       B．45°       C．55°       D．65°

【考点】平行线的性质；余角和补角．版权所有

【分析】由题意可得AC∥BD，∠ABC＝90°，由平行线的性质可求得∠3，再由补角的定义即可求∠2．

【解答】解：如图，

由题意得：AC∥BD，∠ABC＝90°，

∴∠3＝∠1＝55°，

∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠ABC＝35°．

故选：A．

5．（2023·张家口二模）八（二）班体育课上进行投篮比赛，六名同学一组，每人投10次．以下是第一组六个同学投中的个数：5，2，5，8，7，10．比赛结束后，老师把第一组和第二组调换了一名同学．调换前后第一组的同学成绩的众数、中位数都没变，平均数变小了，以下判定正确的是（　　）

A．调出调人的成绩一定是2和0      

B．调出调入的成绩一定是10和9      

C．把A和B两个选项合在一起才正确      

D．以上都不对

【考点】众数；算术平均数；中位数．版权所有

【分析】利用众数的定义、中位数的定义可得第一组的众数是5，中位数是6，再根据平均数变小，结合条件进行分析即可．

【解答】解：第一组的数由小到大为：2，5，5，7，8，10，

∴第一组的众数是：5，

第一组的中位数是：，

∵调换前后第一组的同学成绩的众数、中位数都没变，平均数变小了，

∴调出调入的成绩比5小，或比7大，

∴当调出的成绩为2时，调入的可以是1，0，故A、C判定错误，不符合题意；

当调出的成绩为8时，没有符合的成绩调入；

当调出的成绩为10时，调入的是9，故B判定正确，符合题意；

故D判定错误，不符合题意．

故选：B．

6．（2023·汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m²﹣2m﹣1＝0，n²﹣2n﹣1＝0，则的值是（　　）

A．2       B．﹣4       C．﹣6       D．2或﹣6

【考点】根与系数的关系；分式的化简求值．版权所有

【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：当m≠n时，

∴m、n是方程x²﹣2x﹣1＝0的两根，

∴m+n＝2，<>n>mn＝﹣1，

∴原式＝

＝

＝

＝﹣6，

当m＝n时，

原式＝1+1＝2，

故的值是2或﹣6．

故选：D．

7．（2023·驻马店模拟）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA₁→A₁A₂→A₂A₃的路线运动，设第n秒运动到点P_n（n为正整数），则点P₂₀₂₃的坐标是（　　）

A．（2022，0）       B．（2022，﹣）       C．（2023，）       D．（2023，﹣）

【考点】规律型：点的坐标．版权所有

【分析】每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，即可求解．

【解答】解：每6个点的纵坐标规律：，0，，0，﹣，0，

∵2023÷6＝337……1，

∴点P₂₀₂₃的纵坐标为，

点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，

∴点P₂₀₂₃的横坐标为2023，

∴点P₂₀₂₃的坐标（2023，），

故选：C．

8．（2023·太和县一模）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAD，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S₁，S₂，S₃，S₄，下列结论错误的是（　　）

A．若S₁＝S₃，则P点在AB边的垂直平分线上      

B．S₂+S₄＝S₁+S₃      

C．若AB＝4，BC＝3，则PA+PB+PC+PD的最小值为10      

D．若△PAB∽△PDA，且AB＝4，BC＝3，则PA＝2.5

【考点】四边形综合题．版权所有

【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h₁、h₂、h₃、h₄，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出A、B正确；根据三角形的三边关系可得C正确；根据相似三角形的性质得∠APD＝∠APB＝90°，则D、P、B三点共线，利用面积法求出AP＝2.4，可得D错误，即可得出结论．

【解答】解：如图，过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，分别延长FP，EP交BC、CD于G、H

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，

∴PF⊥BC，PE⊥CD，

∴EH⊥FG，EH⊥CD，GF⊥BC，

设点P到AD、AB、BC、CD的距离分别为PD＝h₁、PE＝h₂、PG＝h₃、PH＝h₄，

∴S₁＝ADh₁，S₂＝ABh₂，S₃＝BCh₃，S₄＝CDh₄，

若S₁＝S₃，则h₁＝h₃，即P为FG的中点，

∴E为AB的中点，

∴P点在AB边的垂直平分线上，故A正确，不符合题意；

∵S₂+S₄＝ABh₂+CDh₄＝AB（h₂+h₄）＝AB·EH＝S_矩形ABCD，

同理可得出S₁+S₃＝S_矩形ABCD，

∴S₂+S₄＝S₁+S₃，故B正确，不符合题意；

如图2，连接AC、BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，

∵AB＝4，BC＝3，

∴AC＝BD＝＝5，

∵PA+PC≥AC，PB+PD≥BD，

∴PA+PB+PC+PD的最小值为10，故C正确，不符合题意；

∵△PAB∽△PDA，

∴∠PAB＝∠PDA，

∵∠PAB+∠PAD＝90°，

∴∠PDA+∠PAD＝90°，

∴∠APD＝90°，

同理得∠APB＝90°，

∴D、P、B三点共线，AP⊥BD，

∴S_△ABD＝AD·AB＝BD·AP，

∴AP＝＝2.4，故D选项错误，符合题意．

故选：D．

9．（2023·西青区一模）已知抛物线y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a＞0，c＞﹣1）对称轴为，且经过点（﹣1，0）．下列结论：

①a﹣b＝0；②；③关于x的方程ax²+bx+c+1＝0恰好有两个相等的实数根，则．其中，正确的个数是（　　）

A．3       B．2       C．1       D．0

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式．版权所有

【分析】根据对称轴公式即可判断①；根据抛物线的对称性求得抛物线过（2，0），即可得出4a+2b+c＝0，由b＝﹣a，得出4a﹣2a+c＝0，从而得出c＝﹣2a，由a＞0，c＞﹣1即可得出a，即可判断②；利用根的判别式即可判断③．

【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，

∴﹣＝，

∴b＝﹣a，

∴a+b＝0，故①错误；

∴点（﹣1，0）关于直线x＝的对称点的坐标为（2，0），

∴4a+2b+c＝0，

∵b＝﹣a，

∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，

∴﹣2a＝c，

∵a＞0，c＞﹣1，

∴﹣2a＞﹣1，

∴a，

∴，故②正确；

∵关于x的方程ax²+bx+c+1＝0恰好有两个相等的实数根，

∴Δ＝b²﹣4a（c+1）＝0，

∵c＝﹣2a，b＝﹣a，

∴a²+8a²﹣4a＝0，即9a²﹣4a＝0，

∵a＞0，

∴a＝，故③正确，

故选：B．

10．（2023·镇海区校级模拟）如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D为弧          AC(⌒)  上一点，P为△ABD的内心，过P作PE⊥AB，垂足为E，若 ，则BE﹣AE的值为（　　）

A．4       B．       C．2       D．

【考点】三角形的内切圆与内心；角平分线的性质；等腰直角三角形；三角形的外接圆与外心．版权所有

【分析】作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK＝AD，连接CK，可以证明△CDA≌△CKB，得到CD＝CK，∠DCA＝∠KCB，推出△DCK是等腰直角三角形，得到DK＝CD＝×2＝4，由P是△ADB的内心，推出BE﹣AE＝BD﹣AD＝DK＝4．

【解答】解：作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK＝AD，连接CK，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ACB＝90°，AC＝BC，

∵∠DAC＝∠CBK，

∴△CDA≌△CKB（SAS），

∴CD＝CK，∠DCA＝∠KCB，

∵∠KCB+∠ACK＝90°，

∴∠DCA+∠ACK＝90°，

∴△DCK是等腰直角三角形，

∴DK＝CD＝×2＝4，

∵P是△ADB的内心，

∴PM＝PN＝PE，

∵∠MDN＝∠ACB＝90°，

∴四边形PMDN是正方形，

∴DM＝DN，

∵PA＝PA，PM＝PN，

∴Rt△PMA≌Rt△PEA（HL），

∴AM＝AE，

同理：BN＝BE，

∴BE﹣AE＝BN﹣AM＝（BN+DN）﹣（AM+DM）＝BD﹣AD，

∵BD﹣AD＝BD﹣BN＝DK＝4，

∴BE﹣AE＝4．

故选：A．

二、填空题

11．（2023·白塔区校级一模）函数中自变量x的取值范围是 　                  　．

【考点】函数自变量的取值范围．版权所有

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为0列出不等式组，解不等式组得到答案．

【解答】解：由题意得：x≠0且x﹣1≥0，

解得：x≥1，

故答案为：x≥1．

12．（2023·武侯区校级模拟）若m是的小数部分，则＝　     　．

【考点】估算无理数的大小；分母有理化．版权所有

【分析】先估算出的值的范围，从而求出m的值，然后把m的值代入式子中进行计算，即可解答．

【解答】解：∵4＜6＜9，

∴2＜＜3，

∴的整数部分是2，小数部分是﹣2，

∴＝＝＝＝+1，

故答案为：+1．

13．（2023·绥化一模）某超市有A，B，C三种型号的甲种品牌饮水机和D，E两种型号的乙种品牌饮水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室．如果各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号饮水机被选中的概率是 　     　．

【考点】概率公式．版权所有

【分析】所有的选购方案：（AD）、（AE）、（BD）、（BE）、（CD）、（CE），即可得到A型号饮水机被选中的概率．

【解答】解：所有的选购方案：（AD）、（AE）、（BD）、（BE）、（CD）、（CE）；

P（A型号饮水机被选中）＝＝；

故答案为：．

14．（2023·安徽一模）已知一关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，那么这个关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为 　        　．

【考点】解一元一次不等式．版权所有

【分析】先将已知不等式进行变形，根据已知不等式的解集得出3a﹣b＜0且＝5，求出a＜0，b＝a，即可求出不等式的解集．

【解答】解：（3a﹣b）x+a﹣4b＞0，

（3a﹣b）x＞﹣a+4b，

∵关于x的不等式（3a﹣b）x+a﹣4b＞0的解集是x＜5，

∴3a﹣b＜0且＝5，

27a﹣9b＜0且9b＝16a，

解得：a＜0，b＝a，

∴ax﹣b＞0的解集为x＜，

故答案为：x＜．

15．（2023·莱芜区一模）对数的定义：一般地，若a^x＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log_aN．比如指数式2⁴＝16可以转化为4＝log₂16，对数式2＝log₅25，可以转化为5²＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log_a（M·N）＝log_aM+log_aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．理由如下：设log_aM＝m，log_aN＝n，则M＝a^m，N＝aⁿ，∴M·N＝a^m·aⁿ＝a^m+n，由对数的定义得m+n＝log_a（M·N），又∵m+n＝log_aM+log_aN，∴log_a（M·N）＝log_aM+log_aN，类似还可以证明对数的另一个性质：log_a＝log_aM﹣log_aN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）．

请利用以上内容计算log₃18+log₃2﹣log₃4＝　    　．

【考点】同底数幂的乘法．版权所有

【分析】根据所给的运算的法则进行求解即可．

【解答】解：log₃18+log₃2﹣log₃4

＝log₃（2×9）+log₃2﹣log₃4

＝log₃2+log₃9+log₃2﹣log₃4

＝2+（log₃2+log₃2）﹣log₃4

＝2+log₃2×2﹣log₃4

＝2+log₃4﹣log₃4

＝2．

故答案为：2．

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