网络场论

求是1025 2023-07-08 发布于山东

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/network field theory/

条目作者陈佳圭

陈佳圭

最后更新 2022-06-08

把网络理论与场论结合起来，从麦克斯韦方程组建立新电路理论，以电磁场的变化规律支配电路，达到电磁场与电路的统一。

英文名称
network field theory

所属学科
物理学

电网络所表现的现象，是网络内电磁场与构成网络元件之间的相互作用，可用麦克斯韦方程组和物质电磁性质方程组表示。具体到线性和非线性网络，都统一看作一个分布有能量和电荷、电流的系统，系统内各支路能量和各节点电流、电荷分别遵从麦克斯韦方程组导出的能量守恒定律和电荷守恒定律，把这两个守恒定律联立求解，并从解得到的积分形式的两组独立方程组作为电路基本定律出发，可演绎出电路有关问题，建立场与路统一的新的电路理论。

最基本的网络是正弦稳态线性网络。对全空间而言，复数形式的能量守恒定律的积分形式为：

$\int\hat{\boldsymbol j}^*·\hat{\boldsymbol E}{\rm d}V+{\rm i}\omega\int(\mu\hat{\boldsymbol H}·\hat{\boldsymbol H}^*-\varepsilon\hat{\boldsymbol E}·\hat{\boldsymbol E}^*){\rm d}V=0$

式中符号“ $\boldsymbol \wedge$ ”表示复数，而 $\hat{\boldsymbol j}^*$ 是复矢量 $\hat{\boldsymbol j}$ 的共轭。对能量守恒定律，重要的是要把电磁场变量 $\hat{\boldsymbol j}^*·\hat{\boldsymbol E}$ 、 $\hat{\boldsymbol E}·\hat{\boldsymbol E}^*$ 和 $\hat{H}·\hat{H}^*$ 变换成适应于电路上的电路变量 $\hat{\boldsymbol j}·\hat{\boldsymbol j}^*$ 。因为这三项电磁场变量代表导体内热能、电场能量和磁场能量，所以变换后在 $\hat{\boldsymbol j}·\hat{\boldsymbol j}^*$ 的前面所出现的变换系数必然与电路上储存这三种能量的元件性能有关。其中储存电磁场能量的元件有电阻、电容、自感和互感，所以把经过计算所得的这四个变换系数分别定义为这四种元件的复阻抗率，分别用 $\hat{\rho}^{(R)}$ 、 $\hat{\rho}^{(C)}$ 、 $\hat{\rho}^{( L)}$ 和 $\hat{\rho}^{(M)}$ 表示。把电荷守恒定律：

$∮\hat{\boldsymbol j}·\rm d\boldsymbol s=0$

应用于网络所有 $N$ 个节点上，可写出以电流密度为变量的线性方程组。网络场论证明了此方程组系数组成的矩阵的秩等于 $N−1$ 。据此，方程组有 $N-1$ 个独立方程：

$\sum^B_{t=1}\int\hat{\boldsymbol j}_t·{\rm d}\boldsymbol s_{\mu,t}=0\ \ 或\ \ \sum^B_{t=1}a_{\mu,t}\hat{j}_t=0$

　　　　　　 $(μ=1,2,\cdots,N−1)$ 　 (1)

式中 $B$ 代表网络内的支路数。 $N−1$ 个独立方程可解出 $N−1$ 个未知量电流，它们之中每一个电流都是其余 $B−N+1$ 个电流的某一函数。因而，把 $B−N+1$ 个自变量电流称为独立变量电流，而把 $N−1$ 个因变量电流称为非独立变量电流。同时把它们通过的支路分别定义为独立电流支路 $k′$ 和非独立电流支路 $i$ 。继续对式(1)线性方程组应用克莱姆规则，解得非独立变量电流密度可经独立变量电流密度线性表出的关系，把此关系式代入由能量守恒定律对网络所有 $B$ 条支路写出方程式，其中一类的非独立变量电流密度中，实现了两守恒定律于网络中的联立求解。若式(1)方程组的解存在且唯一，则经过证明，要求：① $N-1$ 条 $i$ 支路不得形成任一闭合回路，其形状如同“树”一样。②由式(1)方程组的解所联系的若干条 $i$ 支路和一条在其他闭合回路中所没有出现的 $k′$ 支路必须组成一个闭合回路，用 $l_{k′}$ 表示，它是一种独立回路。由网络图论引进电路的树支，连支和单连支回路就是现在的 $i$ 支路， $k′$ 支路和 $l_{k′}$ 独立回路。

当不计互感时，两个守恒定律联立的解是由 $B−N+1$ 个独立回路线积分组成的方程组：

$∮_{l_{k'}}\hat{K}·{\rm d}\boldsymbol t=∮_{l_{k'}}(\hat{\rho}^{( R)}+\hat{\rho}^{( C)}+\hat{\rho}^{( L)})\hat{\boldsymbol j}×{\rm d} \boldsymbol l$

　　　　　　 $(k′＝N,N+1,\cdots,B)$ (2)

式中每一个独立方程都对应一个对独立回路 $l_{k′}$ （ $k′=N,N+1,\cdots,B$ ）的积分。式(1)和式(2)就是积分形式的两个独立方程组。式(2)中两项线积分分别包含了电源的参量和元件的性能参量以及电路上的基本变量电流密度矢量，式中出现两个矢量的标积，乃是解中两项由此出现仅能取值±1的两个方向余弦 $\cos(\boldsymbol K ,{\rm d}\boldsymbol l)$ 和 $\cos(\boldsymbol j ,{\rm d}\boldsymbol l)$ 而表出的该两项正负号的定则，其中 $\boldsymbol K$ 、 $\boldsymbol j$ 和 ${\rm d}\boldsymbol l$ 的方向分别表示电源极性方向、电流标定方向和选定的回路绕行方向。式(2)由于包含元件性能的原始参量 $\hat{\rho}^{(R)}$ 、 $\hat{\rho}^{(C)}$ 和 $\hat{\rho}^{( L)}$ ，因而可导出元件特性公式（元件性能约束）：

$\hat{V}^{( R)}=\hat{I}R$

$\hat{V}^{( C)}=\frac{1}{{\rm i}\omega C}\hat{I}$

$\hat{V}^{( L)}={\rm i}\omega L\hat{I}$

和支路特性方程，而由式(1)和(2)则可导出基尔霍夫电流和电压定律（元件互连约束）

$\sum^B_{t=1}\cos({\boldsymbol j}_t·{\rm d}{\boldsymbol{S}}_{\mu,t})\hat{I}_t=0\ \ (μ＝1,2,\cdots,N−1)$

$\sum^B_{t=1}\cos(\boldsymbol j_{K',t}·{\rm d}\boldsymbol S_{K',t})\hat{V}_t=0\ \ (k'＝N,N＋1,\cdots,B)$

可见，基尔霍夫定律所反映的各支路的电流线性关系和电压线性关系、每一项正负号定则以及独立方程数目，能在一个表达式中同时表达出来，达到了完整的统一。此外，由式(1)和(2)经过推理，还可以得到其他必要的内容，组成正弦稳态线性网络理论。在正弦稳态非线性网络乃至非正弦稳态线性网络和非线性网络中，两个积分形式的独立方程组，从麦克斯韦方程组出发，也得到证明。从而自1991年提出网络场论以来，它经历的工作主要是揭示了积分形式的两组独立方程组，这才是电路上真正的电路基本定律，并由此开辟了建立场和路统一的电路理论的道路。