每日一题 第1402期：利用两种方法求解平面向量数量积最大值（2023·07·11）

 每日一题总计“1402期”

威威道来解答题总计“85期”

浅识·杂谈总计“1期”

第1402期

先导知识：必修4（旧） 必修1 必修2（新）

涉及方法：

①平面向量数量积的定义

②余弦的差角公式

③辅助角公式

④平面向量数量积的几何含义

难度系数：★★★

今天的题目是2023年全国乙卷（理）的单选题的最后一个问题即第12题，本题是一个平面向量数量积的最值求解问题。本题是基于一个圆的切线和割线展开的，很多同学对于向量相关最值问题，喜欢建系利用坐标处理，本题也可以这样做，但是运算过于复杂。视频是从数量积自身的定义及含义两个角度选择两种方式进行解答。第一种方法是利用数量积定义，向量PD和向量PA数量积是PD、PA的长度与夹角余弦之积，其中PA是定值，而PD的长度是可以由夹角大小确定下来的，这样这个数量积实际上就是关于这个夹角的一个函数。这个函数的最值就要利用三角函数相关的知识来进行求解了。第二种方法则是通过其几何含义，数量积可以看做是一个向量在另一个向量的投影与另一个向量模长之积，而PA模长已知，那么核心要研究PD在PA的投影，其中D是动点，这个动点的轨迹根据垂径定理可知，它是一定在以OP为直径的圆上，同时在圆O内部。接下来，我们分析D在PA上的投影，结合图形可以分析出它对应的最大值，进而计算最值，这种方法如果不追求逐步书写过程，单纯看图，是最便捷的方式，很适合小题的解答。

做法详解：