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第1讲 机械振动
考点一 简谐运动的基本特征
1．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动． 2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置． 3．回复力 (1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力． (2)方向：总是指向平衡位置． (3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．
1．简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置．( × ) 2．做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的．( × ) 3．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小．( √ ) 4．振动物体经过半个周期，路程等于2倍振幅；经过个周期，路程等于振幅．( × )
对简谐运动的理解
A．动能不断增大，加速度不断减小 B．回复力不断增大，系统机械能守恒 C．弹性势能不断减小，加速度不断增大 D．弹性势能不断增大，加速度不断减小 答案 A 解析 做简谐运动的小球，从C到O的过程中逐渐靠近平衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，所以合外力做正功，动能增大；同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知 F＝－kx＝ma，故加速度不断减小，故A正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有系统内的弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；在小球从C到O的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误．
A．如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值可能小于 B．如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为T C．物块通过O点时动能最大 D．当物块通过O点时，其加速度最小 答案 ACD 解析 如果在t2时刻物块的速度大小也为v、方向也向下，则t2－t1的最小值可能小于，故A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值小于，故B错误；当物块通过O点时，其加速度最小，速度最大，动能最大，故C、D正确．
A．0.6 s B．2.4 s C．0.8 s D．2.2 s 答案 AD 解析 若小球从O点开始向指向P点的方向振动，作出示意图如图甲所示
则小球的振动周期为T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，则该小球再经过时间Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次经过P点；若小球从O点开始向背离P点的方向振动，作出示意图如图乙所示
则有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振动周期为T2＝0.8 s，则该小球再经过时间Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次经过P点，B、C错误，A、D正确． 考点二 简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式 x＝Asin(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝. 2．简谐运动的振动图像 表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
1．简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹．( × ) 2．简谐运动的振动图像一定是正弦曲线．( √ )
从振动图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移． (3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定． (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同． (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
A．t＝0.6 s时，物体在O点右侧6 cm处 B．物体在t＝0.2 s和t＝1.0 s时的速度相同 C．t＝1.2 s时，物体的加速度方向水平向右 D．t＝1.0 s到t＝1.4 s的时间内，物体的加速度和速度都逐渐增大 答案 C 解析 由题图可知，弹簧振子的振幅为 0.12 m，周期为1.6 s，所以ω＝＝1.25π rad/s，结合振动图像得，振动方程为x＝0.12sin(1.25πt) m，在t＝0.6 s时，物体的位移x1＝0.12sin(1.25π×0.6) m＝6 cm，A错误；由振动图像可知，t＝0.2 s时，物体从平衡位置向右运动，t＝1.0 s时，物体从平衡位置向左运动，速度方向不同，B错误；t＝1.2 s时，物体到达A处，物体的加速度方向水平向右，C正确；t＝1.0 s到t＝1.2 s的时间内，物体向负向最大位移处运动，速度减小，加速度增大；t＝1.2 s到t＝1.4 s时间内，物体从负向最大位移处向平衡位置运动，则速度增大，加速度减小，D错误．
A．MN间距离为5 cm B．小球的运动周期是0.2 s C．t＝0时，小球位于N点 D．t＝0.05 s时，小球具有最大加速度 答案 BC 解析 MN间距离为2A＝10 cm，故A错误；因ω＝10π rad/s，可知小球的运动周期是T＝＝ s＝0.2 s，故B正确；由x＝5sin(10πt＋) cm可知，t＝0时，x1＝5 cm，即小球位于N点，故C正确；由x＝5sin(10πt＋) cm可知，t＝0.05 s时，x2＝0，此时小球位于O点，小球加速度为零，故D错误． 考点三 单摆及其周期公式
1．定义： 如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆．(如图)
2．简谐运动的条件：θ<5°. 3．回复力：F＝mgsin θ. 4．周期公式：T＝2π. (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离． (2)g为当地重力加速度． 5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动．( × ) 2．单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定．( × ) 3．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零．( × )
单摆的受力特征 (1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反，故单摆做简谐运动． (2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，FT－mgcos θ＝m. ①当摆球在最高点时，v＝0，FT＝mgcos θ. ②当摆球在最低点时，FT最大，FT＝mg＋m. (3)单摆处于月球上时，重力加速度为g月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力加速度．
A．0.4π s B．0.6π s C．1.2π s D．2π s 答案 ACD 解析 小球的摆动可视为单摆运动，摆长为线长时对应的周期T1＝2π＝π s，摆长为线长减去墙体长时对应的周期T2＝2π＝0.6π s，故小球从最左端到最右端所用的最短时间为t＝＝0.4π s，根据运动的周期性得选项A、C、D正确．
A．甲、乙两单摆的摆球质量之比是1∶2 B．甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4 C．t＝1.5 s时，两摆球的加速度方向相同 D．3～4 s内，两摆球的势能均减少 答案 BCD 解析 单摆的周期和振幅与摆球的质量无关，无法求出甲、乙两单摆摆球的质量关系，A错误；由题图可知甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T＝2π可知，周期与摆长的二次方根成正比，所以甲、乙两单摆的摆长之比是1∶4，B正确；由加速度公式a＝＝可知，t＝1.5 s时，两摆球位移方向相同，所以它们的加速度方向相同，C正确；3～4 s内，由题图可知两摆球均向平衡位置运动，动能均增加，则两摆球的势能均减少，D正确． 考点四 受迫振动和共振
1．受迫振动 (1)概念：系统在驱动力作用下的振动． (2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关． 2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象． (2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率． (3)共振的特征：共振时振幅最大． (4)共振曲线(如图所示)．
f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小．
1．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关．( × ) 2．物体在发生共振时的振动是受迫振动．( √ ) 3．驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大．( × )
简谐运动、受迫振动和共振的比较
A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5 s B．当振子稳定振动时，它的振动频率是6 Hz C．当转速增大时，弹簧振子的振幅增大 D．当转速减小时，弹簧振子的振幅增大 答案 D 解析 摇把匀速转动的频率f＝n＝ Hz＝4 Hz，周期T＝＝0.25 s，当振子稳定振动时，它的振动周期及频率均与驱动力的周期及频率相等，A、B错误；当转速减小时，其频率更接近振子的固有频率，弹簧振子的振幅增大，C错误，D正确．
A．若两个受迫振动分别在月球上和地球上进行(g地>g月)，且摆长相等，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线 B．若两个单摆的受迫振动是在地球上同一地点进行的，则两个单摆的摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4 C．若摆长均约为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的 D．若两个单摆在同一地点均发生共振，图线Ⅱ表示的单摆的能量一定大于图线Ⅰ表示的单摆的能量 答案 AB 解析 题图所示的图线中振幅最大处对应的频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两单摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据f＝可知，g越大，f越大，所以gⅡ>gⅠ，又因为g地>g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两个单摆在地球上同一地点进行受迫振动，g相同，摆长长的f小，因为＝，所以＝，B正确；因为fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ是在地面上完成的，根据f＝，可计算出LⅡ约为1 m，C错误；单摆的能量除了与振幅有关，还与摆球质量有关，由于两摆球质量关系未知，故不能比较两摆的能量，D错误． 课时精练
1.如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则( )
A．该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm B．该振子振动频率是2 Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是12 cm D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm 答案 C 解析 由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A错误；频率T＝，解得f＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s0＝4×3 cm＝12 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D错误． 2．(多选)一水平弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，已知弹簧的劲度系数为20 N/cm，则( )
A．图中A点对应时刻振动物体所受的回复力大小为5 N，方向指向x轴的负方向 B．图中A点对应时刻振动物体的速度方向指向x轴的正方向 C．该振子的振幅等于0.5 cm D．在0～4 s内振动物体做了1.75次全振动 答案 ABC 解析 题图中A点对应的时刻振动物体所受的回复力大小为F＝kx＝20 N/cm×0.25 cm＝5 N，方向指向x轴的负方向，A正确；题图中A点对应的时刻振动物体正远离平衡位置，速度方向指向x轴的正方向，B正确；由题图可知该振子的振幅等于0.5 cm，C正确；弹簧振子的振动周期为2 s，即每经过2 s振动物体就完成一次全振动，则在0～4 s内振动物体做了2次全振动，D错误． 3．(2023·广东省执信中学高三检测)扬声器是语音和音乐的播放装置，在生活中无处不在．如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像，下列判断正确的是( )
A．t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大 B．t＝2×10－3 s时刻纸盆中心的加速度最大 C．在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向不变 D．纸盆中心做简谐运动的方程为x＝1.0×10－4cos 50πt (m) 答案 A 解析 t＝1×10－3 s时刻纸盆中心的位移最大，故A正确；t＝2×10－3 s时刻纸盆中心位于平衡位置，加速度为零，故B错误；在0～2×10－3 s之间纸盆中心的速度方向先沿正方向再沿负方向，故C错误；纸盆中心做简谐运动的方程为x＝Asin＝1.0×10－4sin 500πt (m)，故D错误． 4.(多选)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是( )
A．摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力为零，但回复力不为零 B．摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，但回复力减小 C．摆球在B点时，重力势能最小，机械能最小 D．摆球在B点时，动能最大，细线拉力也最大 答案 BD 解析 假设摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，重力沿细线方向分力为mgcos θ，垂直于细线方向分力为mgsin θ.摆球在A点和C点时，速度为零，沿细线方向的合力为零，有F＝mgcos θ，F回＝mgsin θ，即细线的拉力与重力沿细线方向分力等大且不为零，回复力与重力沿切向方向的分力等大，也不为零，故A错误；摆球由A点向B点摆动过程中，速度变大，根据F－mgcos θ＝m，F回＝mgsin θ，可得细线拉力增大，回复力减小，故B正确；摆球在摆动过程机械能守恒，从最高点摆到B点过程中，重力做正功，其重力势能一直在减小，动能一直在增加，所以摆球在B点时，重力势能最小，动能最大，故C错误；摆球在B点时对其受力分析，可得F－mg＝m，可知此时细线拉力最大，合力不为零，故D正确． 5.(多选)很多高层建筑都会安装减震耗能阻尼器，用来控制强风或地震导致的振动．台北101大楼使用的阻尼器是重达660吨的调谐质量阻尼器，阻尼器相当于一个巨型质量块．简单说就是将阻尼器悬挂在大楼上方，它的摆动会产生一个反作用力，在建筑物摇晃时往反方向摆动，会使大楼摆动的幅度减小．关于调谐质量阻尼器下列说法正确的是( )
A．阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同 B．阻尼器与大楼摆动幅度相同 C．阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反 D．阻尼器摆动幅度不受风力大小影响 答案 AC 解析 由题意可知阻尼器做受迫振动，振动频率与大楼的振动频率相同，故A正确；阻尼器与大楼摆动幅度不相同，故B错误；由题意可知，大楼对阻尼器的力与阻尼器对大楼的力为一对相互作用力，根据回复力F＝－kx，可知阻尼器摆动后，摆动方向始终与大楼的振动方向相反，故C正确；阻尼器的摆动幅度会受到风力的影响，故D错误． 6.如图所示，质量为m的物块放置在质量为M的木板上，木板与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，周期为T，振动过程中m、M之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，物块和木板之间的动摩擦因数为μ，则下列说法正确的是( )
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则Δt一定等于的整数倍 B．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相同 C．研究木板的运动，弹簧弹力充当了木板做简谐运动的回复力 D．当整体离开平衡位置的位移为x时，物块与木板间的摩擦力大小等于 kx 答案 D 解析 设位移为x，对整体受力分析，受重力、支持力和弹簧的弹力，根据牛顿第二定律， 有kx＝(m＋M)a① 对物块受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力提供回复力，根据牛顿第二定律， 有Ff＝ma② 所以Ff＝k③ 若t时刻和(t＋Δt)时刻物块受到的摩擦力大小相等，方向相反，则两个时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，但Δt不一定等于的整数倍，故A错误；若Δt＝，则在t 时刻和(t＋Δt)时刻物块的位移大小相等，方向相反，位于相对平衡位置对称的位置上，弹簧的长度不一定相同，故B错误；由开始时的分析可知，研究木板的运动，弹簧弹力与物块对木板的摩擦力的合力提供回复力，故C错误；由③可知，当整体离开平衡位置的位移为 x 时，物块与木板间摩擦力的大小等于 kx，故D正确． 7．(多选)甲、乙两弹簧振子的振动图像如图所示，则可知( )
A．两弹簧振子完全相同 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1 C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2 答案 CD 解析 从图像中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，则频率之比f甲∶f乙＝1∶2，选项D正确；弹簧振子周期与振子质量、弹簧的劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，选项A错误；由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，选项B错误；从图像中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，速度为零，此时振子乙恰好到达平衡位置，速度最大，选项C正确．
8.如图所示，表面光滑、半径为R的圆弧形轨道AP与水平地面平滑连接，AP弧长为s，s≪R.半径为r的小球从A点由静止释放，运动到最低点P时速度大小为v，重力加速度为g，则小球从A运动到P的时间是( )
A．t＝ B．t＝ C．t＝ D．t＝ 答案 B 解析 因为AP弧长为s，且s≪R，所以小球的运动等效为单摆运动，根据单摆的周期公式可得T＝2π，由题意可知，摆长l＝R－r，小球从A运动到P所用的时间为四分之一个周期，即有t＝，故B正确． 9.(多选)(2023·四川省成都七中质检)如图所示，倾角为θ、光滑的斜面体固定在水平面上，底端有垂直斜面的挡板，劲度系数为k的轻质弹簧下端拴接着质量为M的物体B，上端放着质量为m的物体P(P与弹簧不拴接)．现沿斜面向下压一段距离后由静止释放，P就沿斜面做简谐运动，振动过程中，P始终没有离开弹簧．重力加速度为g，则( )
A．P振动的振幅的最大值为 B．P振动的振幅的最大值为 C．P以最大振幅振动时，B对挡板的最大压力为Mgsin θ＋mgsin θ D．P以最大振幅振动时，B对挡板的最大压力为Mgsin θ＋2mgsin θ 答案 AD 解析 根据题意可知，物体P做简谐运动，则P位于平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧的形变量为x，根据平衡条件有mgsin θ＝kx，解得x＝，根据题意可知，P向上达到最高点位置时，弹簧恰好恢复原长，此位置是P能够做简谐运动的最高点，则P的最大振幅为A＝x＝，故B错误，A正确；根据题意可知，P以最大振幅振动时，当P到达最低点，即弹簧形变量最大时，B对挡板的压力最大，根据简谐运动知识可知，此时弹簧的形变量为2x，设挡板对B的支持力为F，对物体B，根据平衡条件有F－k·2x＝Mgsin θ，解得F＝2mgsin θ＋Mgsin θ，根据牛顿第三定律可得B对挡板的最大压力为F′＝F＝2mgsin θ＋Mgsin θ，故C错误，D正确． 10．(多选)(2018·天津卷·8)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点．t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( ) A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s 答案 AD 解析 若振幅为0.1 m， 则Δt＝＋nT(n＝0,1,2，…)． 当n＝0时，T＝2 s；n＝1时，T＝ s；n＝2时， T＝ s．故选项A正确，选项B错误． 若振幅为0.2 m，振动分两种情况讨论： ①振子振动如图甲所示，则振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s.
②振子振动如图乙中实线所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知 t＝0时，－＝Asin φ，φ＝－，即振子由C点振动到O点用时至少为，由简谐运动的对称性可知，振子由C点振动到D点用时至少为，则T最大为6 s；若由C点振动到O点用时1T，振子由C点振动到D点用时T，则T为 s．若振子振动如图乙中虚线所示，振子由C点振动到D点用时至少为，周期最大为2 s. 综上所述，选项C错误，D正确． 11．(多选)装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，如图甲所示，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s．以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅．对于玻璃管，下列说法正确的是( )
A．回复力等于重力和浮力的合力 B．振动过程中动能和重力势能相互转化，玻璃管的机械能守恒 C．位移满足函数式x＝4sin(4πt－) cm D．在t1～t2时间内，位移减小，加速度减小，速度增大 答案 ACD 解析 玻璃管振动过程中，受到重力和水的浮力，这两个力的合力充当回复力，故A正确；玻璃管在振动过程中，水的浮力对玻璃管做功，故振动过程中，玻璃管的机械能不守恒，故B错误；由于振动周期为0.5 s，故ω＝＝4π rad/s，由题图乙可知振动位移的函数表达式为x＝4sin(4πt－) cm，故C正确；由题图乙可知，在t1～t2时间内，玻璃管向平衡位置运动，故位移减小，加速度减小，速度增大，故D正确．
12.(2023·北京海淀区模拟)如图所示，两个摆长均为L的单摆，摆球A、B质量分别为m1、m2，悬点均为O.在O点正下方0.19L处固定一小钉．初始时刻B静止于最低点，其摆线紧贴小钉右侧，从图示位置由静止释放A(θ足够小)，在最低点与B发生弹性正碰．两摆在整个运动过程中均满足简谐运动条件，摆线始终保持绷紧状态且长度不变，摆球可视为质点，不计碰撞时间及空气阻力，重力加速度为g.下列选项正确的是( )
A．若m1＝m2，则A、B在摆动过程中最大振幅之比为9∶10 B．若m1＝m2，则每经过1.9π时间A回到最高点 C．若m1>m2，则A与B第二次碰撞不在最低点 D．若m1<m2，则A与B第二次碰撞必在最低点 答案 D 解析 若m1＝m2，则两球碰撞后交换速度，所以A、B在摆动过程中最大振幅相等，两球的振动完全一样，所以每经过2π时间A回到最高点，A、B错误；摆长为L的周期为T＝2π，摆长为0.81L的周期为T′＝1.8π，若m1>m2，则碰后A球向右运动，摆长变为0.81L，B球摆回最低点后向左运动时，摆长为0.81L，所以两摆的周期均为T″＝T＋T′＝1.9π，即第一次在最低点碰撞后，经过一个周期发生第二次碰撞，位置仍然在最低点，C错误；若m1<m2，则A与B碰后，A反弹，两球的摆长一样，周期一样，所以各经过半个周期后，在最低点发生第二次碰撞，D正确． |
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