高数习题37 由中值定理证明不等式

不等式是高等数学中的一种重要题型，常见的证明方法基本都与导数的应用有关，比如由函数在区间上的导数符号判断单调性，或者进而由函数的极值或最值证明不等式，还有一些题目可以由曲线的凹凸性进行证明，总之方法是比较灵活的。

今天我们选择的题目则是利用微分中值定理证明一个不等式。

例37  证明不等式

其中为自然数。

解题思路

说明一下，李老师上学时的“自然数”指的就是“正整数”。

本题的证明思路来源于观察，在高等数学的范畴里，看到的形式的时候我们不能无动于衷，而应该主动想到使用拉格朗日中值定理。

从而我们引入辅助函数, 这个函数满足中值定理的条件，对它施行拉格朗日中值定理，之后再进行放缩，尽可以得到所证明的结论。

顺便指出一下，微分和积分是一对互逆的运算，比如本题，我们也可以采用定积分的性质构造不等式：

之后再由单调增加，利用定积分的性质得出结果。

上面的两种解题思路可谓都非常简洁直接，下面的解答视频也是严格按照上述思路进行的。

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