【课程】西南科大网教学院_数学分析24_7.2 定积分的性质

7.2  定积分的性质

    定积分作为一类特定结构和式的极限有它的特殊的一些性质，这些性质是定积分的理论和计算的基础．现在我们从定积分的定义出发来证明定积分的如下性质．

为了讨论问题的方便，我们作如下两个约定：

（1）       对于任何函数，若在有定义，则

（2）       若函数在可积，则

    定理7.2.1  若函数在区间可积，为常数，则函数在可积，且

    推论  若则

    定理7.2.2  若函数与在上可积，则在上亦可积，且

    推论  若个函数在区间可积，则它们的线性组合：

在亦可积，且

其中都是常数．

 

    定理7.2.3  设函数在有界，且，如果在和两区间上可积，则在上可积，且

   注：当c在之外时，定理7.2.5亦成立．陈述为：若函数在区间可积，且，则.

    推论  若函数在区间都可积，则在可积，且

    定理7.2.4（保号性） 若函数在可积，且，有，(或则

    推论（单调性） 若与在可积，且，有，则                        .

    定理7.2.5 若在可积；且在有最大值及最小值，则

     定理7.2.6 （积分中值定理） 若函数在闭区间连续，函数在可积，且不变号，则在上至少存在一点，使得

.

    推论 若函数在闭区间连续，函数在可积，且不变号，则在上至少存在一点，使得

.

    注  (1) 推论的几何意义是: 如果, 连续曲线与轴、直线，所围成的曲边梯形的面积等于以上某一点的函数值为高，以区间的长为宽的矩形的面积，如图7-2-1所示.

 

    (2) 称为函数在上的平均值，它是通常有限个数的平均值的拓广.