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● 定积分的定义中把握两个任意一个总 (1) 对区间的分割是任意的； (2) 对区间上的点的取值位置是任意的； (3) 对两个任意，极限总是趋于同一个极限值. ● 定积分的存在性 定理1 函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积. 定理2 函数f(x)在[a,b]上有界，且在[a,b]上只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积. 初等函数在包含于其定义区间上的任意闭区间上定积分都是存在的. ●用定积分的定义求数列极限的基本原则与方法 依据：基于以上结论和定积分的定义，对于特定分割（均分为n份）和区间上特殊取点（统一取为左端点或者统一取为右端点），从而可以用定积分的定义来求无穷项和的极限. 原则、步骤与方法：如果考虑使用定积分的定义来求无穷项和的数列的极限，则首先将极限式写成∑求和形式；然后提出一个1/n，再将剩下部分中包含的n与k（或者i）转换为k/n或i/n的函数表达式（这个过程可能需要经过放缩，结合夹逼定理），即最终的极限式可以写成∑f(i/n)(1/n)的结构，则可以把最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[0,1]的定积分形式. 【注1】 如果希望构建积分区间为[a,b]， 则需要提出(b-a)/n，并将剩余部分转换为a+(b-a)i/n，即极限式转换为∑f[a+(b-a)i/n](b-a)/n的结构，则最终的极限描述为被积函数为f(x)，积分区间为[a,b]的定积分形式. 【注2】 对于一些特殊的数列和的极限，也可以考虑定积分的另外的特殊分割或特殊取点的方式来求极限. 以上具体过程参见课件中的例题和后面的参考阅读！ ● 定积分性质命题相关的注意事项 (1) 与定积分不等式命题相关的证明考虑积分性质中的保号性中的几个结论 (2) 与定积分、被积函数和积分区间相关的命题的证明，考虑定积分的积分中值定理；定积分中值定理架起了定积分与被积函数和积分区间之间的桥梁，使得定积分的研究可以转换为被积函数来研究.
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