从零开始学数据分析之——《微积分》第一章 函数与极限

写在前面

三十而立之年，开始自学数据分析，工作比较清闲，现发帖记录自己的数据分析之路，数据分析要学很多的东西，经过多月的摸索，目前分两个方面开始学习：

·知识方面：数学为王，拿起书本，重学《概率与统计》、《微积分》、《线性代数》

·软件方面：MySQL、Python

将暂时更新这几个序列，以便记录。

此篇为《微积分》，第三版，经济科学出版社出版，为B站宋浩老师《微积分》教学视频所用教材，自己也是跟着宋老师学，边学边做笔记，在此特别感谢像宋老师一样无私奉献的人。本书共8章，纯手工码字，视内容多少，分批次发布。

第1章——函数与极限

1.1 集合

1.1.1 集合的概念

集合(set)：按照某些规定能够识别的一些确定对象或事物的全体

元素：构成集合的每一个对象或事物

集合表示的方法：列举法和描述法

常见集合：N—全体自然数的集合，Z—全体整数的集合，Q—全体有理数的集合，R—全体实数的集合

子集：设A和B是两个集合，若集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（subset）

空集：不含任何元素的集合称为空集，记作

1.1.2 集合的运算

、、A-B

集合的并、交、余运算满足的运算律：

交换律：

结合律：，

分配律：，

对偶律：

直积（笛卡尔乘积）：

1.1.3 区间

开区间：

闭区间：

半开区间、有限区间、无限区间

邻域、去心邻域

1.2 函数

1.2.1 常量与变量

常量：始终保持一固定数值，常用字母a,b,c,...表示

变量：可以取不同的数值，不断变化，常用x,y,z,...表示

1.2.2 函数的概念

函数：设x,y是两个变量，D是一个给定的非空实数集，，f是变量x与y之间的对应关系。如果对于D内的变量x的每一个值，按照f在R内能确定唯一的变量y的值与之对应，则称f是定义在D上的函数（function）,也称变量y是变量x的函数。其中，变量x称为自变量，变量y称为因变量，数集D称为函数的定义域(domain).

1.2.3 函数的表示法

1、解析法：用解析表达式来表达自变量与因变量之间的对应关系

2、列表法：用表格来表达自变量和因变量之间的对应关系

3、图像法：用图形来表示自变量与因变量之间的对应关系

1.2.4 几种特殊类型的函数

1、周期函数：f(x+T)=f(x)

2、奇函数：f(-x)=-f(x)，图像关于原点中心对称

3、偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称

4、单调函数：单调增加（单调减少）

5、有界函数：

1.2.5 反函数

 1.2.6 初等函数

1、基本初等函数：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。

2、复合函数

3、初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而成的并可用一个式子表示的函数

1.3 函数关系的建立与经济学中常用函数

1.3.1 函数关系的建立

1.3.2 经济学中常用函数

1、需求函数

2、供给函数

3、总收益函数

4、总成本函数

5、总利润函数 

1.4 数列的极限 

1.4.1 数列极限的定义

1. 数列：{Xn}

2. 数列极限

1.4.2 收敛数列的性质

性质1：若数列{Xn}收敛，则它的极限唯一

性质2：若数列{Xn}收敛，则数列{Xn}为有界数列

性质3：若数列{Xn}收敛于a，则{Xn}的任何子数列都收敛于a

1.5 函数的极限

1.5.1 函数极限定义

1、自变量趋于正无穷大

2、自变量趋于负无穷大

3、自变量趋于无穷大

4、自变量趋于有限值

1.5.2 函数极限的性质

唯一性：若存在，则它的极限唯一

局部有界性：若存在，则在点的某去心邻域内，函数f(x)有界

局部保号性：若 =a，且a>0(或a<0),则在点的某去心邻域内，有f(x)>0(或f(x)<0)

海因定理（归结原则）：  =a的充分必要条件是对任意的数列,都有

1.6 无穷小与无穷大

1.6.1 无穷小

定义：若函数在自变量的某变化过程中极限为0，则称函数f(x)在该变化过程中为无穷小（infinitesimal）（注：必须指明自变量的变化过程）

定理：无穷小与有界函数的积是无穷小

推论：常数与无穷小的乘积仍是无穷小

定理：充分必要条件是,其中

1.6.2 无穷大

定义：若函数f(x)在自变量的某变化过程中，相应的函数值的绝对值|f(x)|可以无限地增大，则称函数f(x)在这个变化过程中是无穷大(infinity).

推论：1.两个无穷大的乘积是无穷大 2.无穷大与有界函数之和为无穷大

1.7 极限的运算法则

1.8 极限存在准则与两个重要极限 

1.8.1 极限存在准则

夹逼定理： 

单调有界数列必有极限

1.8.2 两个重要极限

          

1.9  无穷小的比较

1.10 函数的连续性

1.10.1 函数的连续性

1.10.2 函数的间断点

第一类间断点：跳跃间断点和可去间断点（左右极限都存在）、第二类间断点：无穷间断点和振荡间断点

1.10.3 初等函数的连续性

1.连续函数的运算法则

2.初等函数的连续性

(1) 基本初等函数在其定义域内连续

(2) 初等函数在其定义区间上连续

1.10.4 闭区间上连续函数的性质