高数习题28 一个三重积分的解答

今天做一个三重积分的难题。

例28  计算三重积分, 其中为圆锥体，它顶点在原点, 底为平面上以点为圆心且1为半径的圆。

解题思路

本题中积分域虽然简单，但它的位置却使我们为难。无论是在直角坐标系中，还是在柱面或球面坐标系中，按常规的套路去求解并非易事！

我们只得放弃一般的处理程序，另求他法。

首先引起我们注意的仍然是积分区域有对称轴（即直线）, 积分域对于具有轮换对称性，从而我们得到

进一步地，所求积分

但上述结果应该怎么使用呢？解答困难仍然是在于“积分区域所在的位置”，能不能将所求的积分转化为某个与具体位置无关的量呢？

基于这种思路，设平行于积分区域的圆锥体底面的平面方程为

易知该平面截圆锥体所得区域的半径为, 这个可由简单的初等几何知识得到。于是根据先二后一的解题思想，

这样我们就完成了题目的解答。

因为上面的步骤已经非常清楚，本题不再做解答视频了。