流体力学 | 纳维-斯托克斯方程背后的直觉

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研究这些现象的物理学领域被称为流体力学，其皇冠上的明珠无疑是纳维-斯托克斯方程。但是，纳维-斯托克斯方程背后的直觉究竟是什么，为什么它们如此重要？

介绍 粗略地说，纳维-斯托克斯方程是一组方程，可以描述你能想到的任何流体的流动。

但在我们开始解开这些方程式之前，让我们花点时间提醒自己一些定义和概念，这些定义和概念将在以后对我们有所帮助。

纳维-斯托克斯方程背后的直觉

对流体力学基石的直观介绍。从管道中的洋流和水流到飞机机翼周围的空气和我们静脉内的血液，流体在我们的世界中发挥着原始的作用。

首先，什么是流体？

流体是一种没有固定形状的物质，很容易屈服于外部压力;气体或（特别是）液体。当这种压力（或通常正式表示的应力）施加到流体上时，随着某些粒子相对于其余颗粒的位置发生变化，它的形状会不断变化。这种不可逆的变化被称为流动。

在这种情况下，我们将流体的粘度定义为流体流动阻力的量度。例如，蜂蜜和番茄酱等流体的粘度高于水和油，水和油是非常稀的物质，往往容易流动。

粘度是任何流体的关键属性，几乎总是出现在我们用来模拟它们的基础物理场中。

层流和湍流

从左到右的低粘度到高粘度，我们主要关注两种类型的流程。

层流是流体的“平滑”流动，一种流动，其中移动的颗粒被限制在不同的层中。这些层平滑地穿过相邻的层，很少或没有像扑克牌那样混合。

管道中的层流 

湍流与此相反。它是一种流动类型，其特征是涡流、涡流以及流体压力和速度的许多混乱变化。

管道中的湍流

两个主要假设。我们要处理的流体为牛顿流体,这意味着其粘度不管施加给它们的剪切应力-压强多少,其粘度保持不变;以及不可压缩性,即在流动过程中其密度保持不变。

这已足够我们掌握。现在我们可以深入研究Navier-Stokes方程的精妙之处!

Navier-Stokes方程

不再多话,这就是两条期盼已久的方程:

u:流体的速度矢量

p:流体压力

ρ:流体密度

μ:流体的粘度

∇2:拉普拉斯算子

(作用在它操作的矢量场的三个空间第二阶导数的和)如我们所见,这两个方程都与u有关,即流体的速度矢量。

简单地说,当我们将空间的每一点分配给一个矢量时,一个矢量场就是一个含有量纲和方向的箭头。

矢量场可以用来描述许多东西,但是在我们的例子中,每个矢量代表流体在该确切点的速度。

矢量场的例子

Navier-Stokes方程描述流体运动的三个因素:惯性、粘滞和压强。当流体速度改变时,流体本身会产生惯性。

粘滞则描述流体粘稠性造成的阻力。压强则起推动和抑制流体流动的作用。这三个要素的复杂交互构成了流体运动的基础。

我希望这能简单地解释Navier-Stokes方程及其概念。

我们将分别处理两个纳维-斯托克斯方程，从较小的方程开始。

质量守恒

上面两个方程中的第一个是质量守恒的数学表达式。

众所周知，向量场在特定点的发散度是向量场在该点倾向于“扩散”或发散的程度的度量。

具有正背离的点可以被认为是“源”，因为流体似乎是无中生有的。另一方面，具有负背离的点往往被认为是“下沉”，流体似乎完全消失为虚无。

矢量场的源和汇 — 归功于 3Blue1Brown 了

解了所有这些之后，纳维-斯托克斯方程的第一个现在应该相当简单。对于实际（不可压缩）流体，速度矢量场的发散度必须为零。

如果发散度不为零，则意味着在某些点上，流体要么压缩要么膨胀（创建其密度的非零时间导数），这在假设中是不可能的。

就是这样！让我们继续第二个等式。

动量守恒

动量守恒 诚然，第二个等式在第一次出现时看起来有点可怕。让我们一步一步地分解它。

首先，这个方程只不过是牛顿第二定律对流体的应用。

牛顿第二定律 左侧 — 质量乘以加速度 纳维-斯托克斯方程的左侧可以重写如下：

现在，与牛顿第二定律的比较变得更加明显。我们使用了流体的密度而不是质量（当体积恒定时，它们在数学上可以互换），并且我们将加速度写为速度的导数。

更具体地说，这实际上称为材料导数，可以使用链式规则编写如下：

我们不会讨论材料衍生品代表什么，但您可以在互联网上轻松找到许多资源。

右侧 — 力的总和 第二个纳维-斯托克斯方程的右侧是作用在流体上的所有力的代数和。我们不会在这里正式推导出方程，因为它无助于我们的理解，尽管您可以在线找到推导。

我们可以区分内力和外力。

∇p：我们考虑的第一个内力是压力。这个术语是压力梯度，它基本上表示包含流体的空间中的压力差。就像我们从吸管中吸出空气以使果汁到达我们的嘴巴一样，液体倾向于从高压区域移动到低压区域。这种趋势被封装在这个术语中，即压力的梯度。

μ∇²u：我们考虑的第二个内力是摩擦力，它与流体的粘度有关。与低粘度流体相比，高粘度流体分子之间的摩擦更大。这个术语使我们能够以紧凑的数学方式表达这个概念。

ρf：最后，该术语考虑了可能作用在液体上的所有潜在外力。大多数时候，重力是我们系统中唯一的外力，因此我们将“f”替换为g，得到乘积ρg。

在其他情况下，我们可以变得非常花哨，我们将“ρf”替换为洛伦兹力，将纳维-斯托克斯方程与麦克斯韦方程组相结合。

雷诺数 

这个数字通常与纳维-斯托克斯方程并驾齐驱。雷诺数，称为Re，用于确定流体流动是层流还是湍流。

雷诺数的公式如下：

管道中的雷诺数 请注意，D 称为特征长度，它将取决于我们正在分析的流动类型。在上图中，我们假设流动发生在管道内，因此 D 等于该管道的直径。

直观地说，雷诺数是惯性力与粘性力的比值。如果惯性力(导致流体移动的力)，比粘性力(与流体流动相反的力)大得多，那么流动将是湍流的。

如果粘性力占主导地位，则流动将是层流。但“更大”到底是什么意思？

雷诺数对圆柱体周围流体流动的影响

好吧，对于小于 2000 的管道中的雷诺数，流量通常是层流的。对于大于4000的Re，流动将是湍流，而对于2000到4000之间的Re，将存在一种过渡流，层流和湍流之间的混合体。

一百万美元等待着工程师和物理学家

在许多实际应用中广泛使用纳维-斯托克斯方程。然而，为了使用这些方程，他们几乎总是根据手头的问题做出某些假设和简化。

他们这样做的原因是，在没有任何近似的情况下，这些方程很难以原始形式求解。

事实上，克莱数学研究所已经向任何设法解决这个问题的人提供了一百万美元的赏金。简单地说——你可以在这里看到问题的官方声明——你必须回答以下问题才能获得一百万美元：

对于三维流体，您能否确定空间中的每个点是否存在平滑解？

结语 

纳维-斯托克斯方程很容易成为所有物理学中最重要和应用最广泛的方程之一。他们帮助我们设计飞机和汽车，研究血液流动，设计发电站，分析污染等等。

然而，由于它们固有的数学复杂性，它们只能通过近似来解决，而平滑解决方案的理论证明将获得一百万美元的奖励。

“当我遇到上帝时，我要问他两个问题：为什么是相对论？为什么是湍流？我真的相信他会得到第一个答案。——维尔纳·海森堡临终前

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在我们的日常生活中，流体力学有许多很酷的应用。

其中有趣的一些是：

冰箱和空调：冰箱和空调中使用的液体被称为制冷剂。制冷剂从处于低温的蒸发器中吸收热量，并将这些热量散发到高温的大气中。

液压系统：液压系统使用流体来传输动力。它们被用于许多应用中，如汽车刹车、飞机起落架和重型机械。

血液流动：流体力学在理解人体的血液流动方面起着重要作用。它帮助我们了解血液如何在动脉和静脉中流动，以及它如何与这些血管的壁相互作用。

Summary

1.飞机翼:螺旋桨和喷气飞机的飞机翼是依赖于流体力学来实现高效飞行的。它们的形状被精心设计,以有效地切割和导引空气流。

2.潜水艇:潜水艇的流线型外壳也是根据流体力学来设计的。它可以帮助潜水艇伴随水流平稳前进。

3.空调:空调的热交换器利用管道和通风口来有效地切割和导引空气流,实现高效的制冷和制热。

4.涡轮引擎:涡轮引擎依赖于高压空气流来驱动涡轮叶片,产生动力。它展示了流体的惊人能量。

5.高空喷射:高空超音速喷气飞机完全依赖于流体力学的复杂模型来实现。流体力学确保了在高速空气流下飞机能够稳定飞行。

6.水力发电:水力发电利用水流的动能来产生电能。发电厂的水坝和涡轮叶片都是根据流体力学来设计的。

7.风力发电:风力发电也是类似的道理。涡轮叶片高效地切割空气流,产生动能。

8.液压系统:在许多汽车、飞机和机器人中,液压系统依赖于流体力学以实现大力臂杖子。

9.洗涤系统:洗衣机的水管系统利用流体力学进行优化,以最大限度地利用水资源。

如果您曾经认为流入下水道的水类似于黑洞，模拟重力研究人员会同意您的观点。物理学家试图利用流体动力学和遥不可及的宇宙物体之间的数学相似性。

谨慎地赞成在天体物理学中使用类比。

类比并不是从第一原理构建物理理论的可靠基础。相反，我们应该依靠严格的实验、假设和观察。

但毋庸置疑的是，在面对Chaoes混沌系统时，流体力学赋予我们起飞的踏板和想象的翅膀。