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数集到数集之间的映射叫作函数，对于函数的一种重要运算就是微分。若函数的增量可以表示为自变量的增量与一个常数的乘积再加上自变量增量的高阶无穷小，那么就称函数可微，其中自变量增量与常数的乘积就叫微分。通俗地说，微分是函数的增量用自变量的增量表示时的线性部分。微分有一个重要应用就是求函数极值，当可微的函数在某一点取极值时则在该点处的微分为零。无论是在实际应用中，还是数学物理理论中，很多的涉及变量与变量之间关系的问题都可以用函数来表示，而很多优化问题都可以转换为函数求极值的问题。 然而，还有一类问题其数学模型与函数类似，但又不是函数。比如，用一条长度确定的绳子围出一块区域，研究绳子形状跟区域面积之间的关系。显然，面积与围成区域的形状有关，在所有可能的区域形状中，每一个形状对应一个确定的面积，而区域的形状可以用一个(隐)函数来描述，因此这类问题本质是函数的集合到数集的映射，这种映射叫作泛函。泛函跟通常的函数的区别是，函数的自变量是数，而泛函的自变量(宗量)是函数。 很多优化问题可以转化为泛函求极值。比如，求一条确定长度的绳子能围成的区域的最大面积以及相应区域的形状，也叫等周问题。还有求曲面上两点之间的最短路径，以及著名的速降线问题(点击参考:摆线、等时线与最速下降曲线)等。泛函也有跟函数的微分类似的概念，叫作变分，只不过变分关注的是泛函值的变化与宗量(即可变的函数)变化之间的关系。跟可微函数取极值时微分等于零相似，泛函取极值时其变分也等于零。 欧拉和拉格朗日等人已经发展出了一种泛函求极值的普适方法——变分法。变分法的思想是跟据变分等于零将泛函求极值的问题转化为微分方程的求解。物理中很多基本理论都是以泛函求极值为基础，比如经典力学中的最小作用量原理(点击参考:好走捷径，万物跟人同此心态)以及光传播的时间最短原理(点击参考:光的反射跟折射遵循同一条定律)。因此变分法在物理中有广泛的应用。时事上，变分法的提出与发展也与相关物理问题的发展相伴进行，它最早本身就是因求解速降线问题等古典变分问题时的需要而发展出来的。 |
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