习题集之平面几何：题目9——计算方法

【题源】2016年全国高中数学联合竞赛.

【题文】如图所示，在▲ABC中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得

BX·AC=CY·AB.

设▲ACX，▲ABY的外心分别为O1，O2，直线O1O2与AB，AC分别交于点U，V.

证明：▲AUV是等腰三角形.

【分析】本题目不适合直接考虑点U、V满足的数量关系，不过可以转化为证明OO1=OO2.既可以直接利用线段长度进行计算，也可以在绘制出下面角度分析图后利用三角形相似进行简单证明.两种思路，都是代数计算的思路.

【备注】

下面是另外两个证法，证法一利用圆的根轴，十分巧妙；证法二本质上还是计算方法.