形象思维实例——认识分数本质

例1：把12米长的绳子，平均分成4份，每份是多少米？

你一定会列出算式：12÷4=3（米）。

把1米长的绳子，平均分成4份，每份是多少米？

有的人可能会列出算式：1÷4=1/4（米）。

也有人可能会画出图形，求出答案：

如果把3米长的绳子，平均分成4份，每份是多少米？

有人会列出算式：3÷4=3/4（米）。

画图的人可能会因为图形复杂（如下图），不易计算，而放弃画图方法解答。

其实，换一种角度思考：如果能把3米长的绳子变为1米长的绳子，那么画图解答就会变得容易多了。怎么变？

不妨把3米长的绳子，先等分三份，再折叠起来，如下图：（转弯处忽略不计）

在此基础上再进行等分4份，取其中的1份，会怎样？

这样，每一米都被等分4份，其中的一份是1/4米，那么，3米等分4份后，其中的一份就包含3个1/4米，即3/4米。

从这个角度来说，3/4米也可以看成是把3个1米都平均分成4份，每个1米取一份，也就得到了3个1/4米，即3/4米。

这与把3米平均分成4份，取其中的1份是相同的。

因此，3/4米按被分的单位“1”不同，会得到两种不同的数量意义：

一是把1米看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，就是3个1/4米，即3/4米；

二是把3米看作单位“1”，平均分成4份，取其中的1份，也是3个1/4米，即3/4米。

可见，分数的学习，与对单位“1”的理解、掌握程度有很大的关系。

二、关注份数本质，体会分数所表示的倍比关系

在小学阶段的分数主要分为两类：一类是表示数量多少的分数，一类是表示份（倍）数关系的分数。这也是分数学习时的难点和易错点。

例2：幼儿园运来3箱苹果，每箱重15千克，要平均分给3个班。

①平均每班分多少千克？

②平均每班分几箱？

③平均每班分得这些苹果的几分之几？

显然，第一问等分的是苹果的千克数，第二问等分的是苹果的箱数，第三问等分的是苹果的这个整体“1”。所以，第一、二问要解决的问题都是数量之间的关系，用总数量除以总份数得到一份的数量，即（3×15）÷3=15（千克）和3÷3=1（箱）。而第三问要解决的是整体“1”被等分后的总份数与每份数之间的关系，因此，把这些苹果看作一个整体平均分给3个班，即单位“1”平均分给3个班，1÷3=1/3，也就是每班分得这些苹果的1/3。这个“1/3”所体现的就是份数之间的关系，不在表示一个具体的数量，即每份数与总份数的比是1：3。

如果把例1中的问题改为：“每份是这根绳子长的几分之几？”就不能用算式12÷4=3来求，因为这是求每份的数量。现在要求的是每份数与总份数的关系，就要把12米长的绳子看作单位“1”进行平均分成4份，即1÷4=1/4，所以每份是这根绳子长的四分之一。