【原】【2020山东青岛中考试卷13】【中位线】【相似三角形/锐角三角函数/等面积法】

1.试题内容

【2020山东青岛中考试卷13】(3分)

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE=2，OF=3，则点A到DF的距离为　　．

2.解法分析

1

中位线定理

∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

∴点O是AC的中点，

∵点F是AE的中点，

∴OF∥CE，OF=(1/2)CE，

∴CE=2OF=6，

CD=CE-DE=4，

在直角三角形ADE中，

AD=4，DE=2，

根据勾股定理求出AE=2√5；

2

相似三角形/锐角三角函数/等面积法

【相似三角形】

作AH⊥DF交DF的延长线于点H，

在直角三角形ADE中，

点F是AE的中点，

∴DF=(1/2)AE=AF，

∴∠ADF=∠DAE，

∵∠H=∠ADE=90°，

∴△ADH∽△EAD，

∴AD:AE=AH:DE，

即：4:(2√5)=AH:2，

解得：AH=(4√5)/5，

即点A到DF的距离为(4√5)/5.

【锐角三角函数】

作AH⊥DF交DF的延长线于点H，

在直角三角形ADE中，

点F是AE的中点，

∴DF=(1/2)AE=AF，

∴∠ADF=∠DAE，

∴sin∠ADF=sin∠DAE，

∴AH:AD=DE:AE，

即：AH:4=2:(2√5)，

解得：AH=(4√5)/5，

即点A到DF的距离为(4√5)/5.

【等面积法】

作AH⊥DF交DF的延长线于点H，

在直角三角形ADE中，

点F是AE的中点，

∴DF=(1/2)AE=√5，

∵OF∥CE，

∴FG⊥AD，GF=(1/2)DE=1，

∵S△AFD=(1/2)AD×GF=(1/2)DF×AH，

∴4×1=(√5)×AH，

解得：AH=(4√5)/5，

即点A到DF的距离为(4√5)/5.

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