【原】【材料阅读】【三等分角】

难度系数

★★★☆☆

 试题内容

1

山西中考试题

请阅读下列材料,并完成相应的任务：

三等分角：

三等分角是古希腊三大几何问题之一,如下图,任意锐角ABC可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角,以B为端点的射线交CA于点E,交DA的延长线于点F,若EF=2AB,则射线BF是∠ABC的一条三等分线.

证明:

如下图,取EF的中点G,连接AG.

......

任务: 

(1)完成材料中的证明过程.

(2)如下图,矩形ABCD中,对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线交于点F.若BF=(1/2)AC,则∠F=     .

2

解法分析

第一问

三等分角的证明

∵四边形ADBC是矩形,    

∴AD⊥AC,AD∥BC,

∴∠F=∠4,

∵在Rt△AEF中,

点G是EF的中点, 

∴AG=(1/2)EF= FG,

∴∠1=∠F,

∴∠2=2∠F=2∠4,

又∵EF=2AB,

∴AB=(1/2)EF=AG,

∴∠3=∠2,

∴∠3=2∠4,

∴∠ABC=3∠4,

∴射线BF是∠ABC的一条三等分线.

第二问

第一问的类比迁移

取AC的中点H,连接BH,

由题意得：

∠CBA=∠CBE=90°,

∵BF是∠CBE的平分线,

∴∠FBE=45°,

∴∠1+∠F=45°,

∵∠CBA=90°,

∴BH=(1/2)AC=AH= BF,  

∴∠1=∠2,∠3=∠F,

∴∠3=2∠1,

∴∠F=2∠1,

∴(1/2)∠F+∠F=45°,

∴∠F=30°.     

3

难点突破

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

2.直角三角形斜边上的中线将三角形分割成两个等腰三角形，

3.等腰三角形等边对等角.

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