【原】【2021江苏苏州28】【蝴蝶型相似】【相似三角形的判定和性质】

江苏卷

2021中考数学

2021江苏苏州28

如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P₁、P₂分别在线段PF、PH上，PP₁=PG，PP₂=PE，连接P₁H、P₂F，P₁H与P₂F相交于点Q．已知AG:GD=AE:EB=1:2，设AG=，AE=．
(1)四边形EBHP的面积     四边形GPFD的面积(填“＞”、“＝”或“＜”)；
(2)求证：△P₁FQ∽△P₂HQ；
(3)设四边形PP₁QP₂的面积为S₁，四边形CFQH的面积为S₂，求的值．

解法分析(1)

矩形的面积

∵AG:GD=AE:EB=1:2，AG=，AE=，
∴GD=2，EB=2，
∴四边形EBHP的面积=EP×EB=2，
四边形GPFD的面积=GP×GD=2，
即:四边形EBHP的面积=四边形GPFD的面积.

解法分析(2)

相似三角形的判定和性质

由题意得:
PP₁=PG=AE=，PP₂=PE=AG=，
PH=EB=2，PF=GD=2，
∴==，
∵∠P₁PH=∠P₂PF=90°，
∴△P₁PH∼△P₂PF，
∴∠P₁FQ=∠P₂HQ，
∵∠P₁QF=∠P₂QH，
∴△P₁FQ∽△P₂HQ.

解法分析(3)

蝴蝶型相似

连接P₁P₂、FH，

红色三角形的面积关系

由题意得:
HC=GD=2，FC=EB=2，
易证:△PP₁P₂∽△CFH，
∴=，
∴=；

蓝色三角形的面积关系

∵△P₁FQ∽△P₂HQ，
∴=，
∴=，
∵∠P₁QP₂=∠FQH，
∴△P₁QP₂∼△FQH，
∵=，
∴=；
∴=，
即:=.

END

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