2021浙江嘉兴24
小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针
旋转α(0°＜α≤90°)，得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α=90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB=1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N(如图3)，发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
解法分析(1)
将题干中的信息集成到图形中，是解决几何问题的首要任务.
【数量关系】将与“已知边(AB)”和“未知边(BC)”有关的线段长度标出；
【位置关系】通过观察已标线段所处的位置，找到相似三角形，列方程求解.
在△ABD和△D'BC'中，
根据相似三角形的对应边成比例得:
=，
解得:=，
∴BC=.
解法分析(2)
观察能力对于数学学习中各种能力的培养都具有直接或间接的促进作用.无论是图形的识别、数据之间关系的把握,还是基本规律的发现、综合分析能力的提高都离不开认真、仔细的观察.同时,数学活动中的观察并不狭义地指直观的考察,需要眼、脑并用,而且观察的对象也并非都具有直观的形象.因此,观察能力,无疑是学生数学综合能力的重要组成部分.
观察→猜想
很多时候，图形之间关系的发现是由“看着像”开始的.同学们在“小心验证”之前要敢于“大胆猜想”.
D′M与DM“看着像”相等.因此，猜想D′M=DM.
猜想→验证
可以通过直尺测量来佐证自己的猜想.
验证→证明
证明线段相等的常用方法是“全等三角形”和“等腰三角形”，一方面D′M和DM有一个公共端点，
符合等腰三角形的构成条件，另一方面“平行线”和“等腰三角形”都与“等角”密切相关，
因此我们尝试运用“等腰三角形”来证明.
连接DD'，
由AD'=AD证明∠AD'D=∠ADD'，
由矩形的性质证明∠1=∠2，
由D′M∥AC′证明∠2=∠3，
∴∠3=∠1，
∴∠AD'D-∠3=∠ADD'-∠1，
即∠MD'D=∠MDD'，
∴D′M=DM.
解法分析(3)
观察→猜想
最常见的线段关系是和差关系.
因此，猜想DN=MN+PN.
猜想→验证
“DN=MN+PN”即“DM=PN”，通过直尺测量，发现猜想的“误差”有些大，
因此转变思路，将某些线段进行转化，重新猜想.
重新猜想→证明
1.继续观察:猜想AN=MN；
2.延续前两问的结论:
D′M=DM⇒△AMD'≅△AMD⇒∠4=∠5；
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
即∠NMA=∠NAM，
∴AN=MN.
3.将线段DN，AN，PN标在图中，观察它们的位置关系，惊喜的发现了相似三角形，
而相似三角形中也蕴含了边之间的关系.
根据△AND∼△PNA，
得:=，
即：AN=DN·PN，
∴MN=DN·PN.
观察也会有误区，“看着像”有时反而会成为干扰因素，但在错误的思维道路上，我们可能会发现矛盾从而推翻猜想，也可能会发现新的数量或位置关系从而走向正确的思维道路.对于同学们来讲，推翻一个错误的猜想与证明一个正确的结论具有同样的价值.
