1试题内容
综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点Р,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM ,BM.
根据以上操作,当点M在EF上时,写出图1中一个30°的角: .
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.
①如图2,当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °；
②改变点Р在AD上的位置(点Р不与点A,D重合),如图3,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由．
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=lcm时,直接写出AP的长.
2解法分析(1)
∠BME、∠ABP、∠MBP或∠MBC.
方法1：
连接MA，由操作过程可知：
MA=MB=AB，
即：△ABM是等边三角形，
进而证明：∠BME=30°.
易证：∠ABP=∠MBP=∠MBC=30°.
方法2：
由操作过程可知：
MB=AB=2EB，
所以：sin∠BME=，
所以：∠BME=30°.
易证：∠ABP=∠MBP=∠MBC=30°.
3解法分析(2)①
∠MBQ=15°,∠CBQ=15°.
1.特殊角
如左图：连接MA，由操作过程可知：
MA=MB=AB，
即：△ABM是等边三角形，
进而证明：∠BME=30°，
所以：∠MBC=30°，
2.双折叠
如右图：由折叠的性质得：
MB=AB，∠PMB=∠PAB=90°，
进而证明：MB=BC，∠BMQ=∠C=90°，
根据“HL”证明：△BMQ≅△BCQ，
所以：∠MBQ=∠CBQ=∠MBC=15°.
4解法分析(2)②
∠MBQ=∠CBQ.
由折叠的性质得：
MB=AB，∠PMB=∠A=90°，
进而证明：MB=BC，∠BMQ=∠C=90°，
根据“HL”证明：△BMQ≅△BCQ，
所以：∠MBQ=∠CBQ.
“双折叠”动态演示
隐藏结论：PQ=AP+CQ.
5解法分析(3)
AP的长为：cm或cm.
情况1：
如左图：设AP=，
在Rt△PDQ中，
DP=8-，DQ=3，PQ=+5，
由勾股定理得：
(8-)+3=(+5)，
解得：=.
情况2：
如右图：设AP=，
在Rt△PDQ中，
DP=8-，DQ=5，PQ=+3，
由勾股定理得：
(8-)+5=(+3)，
解得：=.
综上所述：AP的长为：cm或cm.
6再思考
矩形中的"双折叠"
在图1的基础上，换一种折叠方式，也有"双折叠"现象产生.
