试题内容：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD=BE=6，
求AC的长. 
解法分享杨博远 王雨辰 郝睿宸
任轩岩 刘栋锴 解法分析条件的初步加工
根据ASA证明：△ABG≅△DBG，
进而证明：点G是AD的中点. D+中点→中位线
方法1：
取CE的中点F，连接DF.
∴EF=FC.
在△BEC中，由中位线定理得：
DF∥BE，DF=BE=3，
∴∠ADF=∠AGE=90°，
AE:EF=AG:GD=1，
∴AE=EF，
∴AC:AF=3:2.
在Rt△ADF中，
由勾股定理得：
AF=3，
∴AC=AF=. 方法2：
取BE的中点F，连接DF.
∴BF=EF.
在△BEC中，由中位线定理得：
DF∥CE，CE=2DF，
根据AAS/ASA证明：
△AGE≅△DGF，
∴AE=DF，EG=EF.
∴EG=BE=，
CE=2AE.
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=. 方法3：
延长BG到点F，使GF=BG，连接CF.
在△BFC中，由中位线定理得：
DG∥CF，CF=2DG=2AG.
∴△AGE∼△CFE，
∴CE=2AE，EF=2EG.
∴EG=GF=BG，
∴EG=BE=.
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=. G+中点→中位线
方法4：
取AC的中点F，连接GF.
在△ADC中，由中位线定理得：
GF∥DC，GF=DC=BC.
∴△EGF∼△EBC，
∴EF:CE=EG:BE=GF:BC=1:4，
∴EG=BE=，
进而证明：AC=3AE.
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=. 方法5：
取CD的中点F，连接GF.
∴BF:BC=3:4，
在△ADC中，由中位线定理得：
GF∥AC，GF=AC.
∴△BGF∼△BEC，
∴BG:BE=GF:EC=BF:BC=3:4，
∴EG=BE=，GF=EC，
进而证明：AC=3AE.
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=. 方法6：
延长DB到点F，使BF=DB，连接AF.
∴BC:FC=2:3，
在△ADF中，由中位线定理得：
BG∥AF，AF=2BG.
∴△EBC∼△AFC，
∴BE:AF=CE:AC=BC:FC=2:3，
∴AF=BE，CE=AC，
进而证明：EG=BE=，AC=3AE.
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=. 中点+平行线→全等
方法7：
延长BG到点F，使GF=BG，连接AF.
易证：AF=BD，AF∥BC，
∴△AEF∼△CEB，
∴AE:EC=EF:BE=AF:BC=1:2，
∴AC=3AE，BF=3EF，
进而证明：EG=BE=，
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=. 方法8：
延长GD到点F，使DF=GD，连接CF.
易证：AG:AF=1:3，BG=CF，BG∥CF，
∴△AGE∼△AFC，
∴AE:AC=EG:CF=AG:AF=1:3，
∴AC=3AE，EG=CF=BG，
进而证明：EG=BE=，
在Rt△AGE中，
由勾股定理得：
AE=，
∴AC=3AE=.
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