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数学对于现实世界的观察思考和应用。数number和量quantity的思维。mathematics。mind思考。最初翻译为几何之学。数学和量学，以至于音乐和天文。arithmetic和geometry总称为算学数学。数学量学几何，代数，解析几何，函数三角函数，集合论，概率论统计学，微积分。 中小学实际学习的是应用数学，广义的数学。几何之学，时间空间的测量，物体静止及其运动变化的计算。【时空长短测量，动静计算，容量重量量速度等等】 而不是狭义的数学，纯粹数学理论数学，数量的思维之学。 思量之学和计算之学。思量mathematics。算法algorithm。 语文是知言知人——文体意识。数学是格物致知——数量意识或几何意识。量化意识qualification。规矩的思维。规矩的审美。规矩的文化。分寸感。絜矩。中和中庸絜矩之道。慎独之道。语文是定性正名。数学就是定量算数。整体等于部分之和（方程等式equation。线性方程叠加性和齐次性，加和性和均匀性。）出入相补原理。同一律。不矛盾律。排中律问题。充分条件必要条件。充分不必要条件等等。 学习数学是重新发明数学（本质）的过程。运用数学是一个演绎数学本质的过程。归纳溯源推理和演绎还原推理。。。induction，abduction——deduction。reduction。建构主义和本质主义。问题算法系统和演绎公理系统。 革命revolution，演化进化evolution。退化移交devolution。内卷involution。 最易感知的是物体的空间形状，时间变化，需要进行测量，思量，即产生了数的思维。测量，思量，数量。mathematics。几何之学。测量思量数量，即量化的思维。对物质进行量化。质量之谓也。量化，即产生了规矩法度。数和代数，图形测量和几何，解析几何，函数和三角函数，概率统计，微积分。 烧掉数学书。https://zhuanlan.zhihu.com/p/526334511 现在的数学教学方法，全世界都一样，是在一个已经构造好了的数学体系中学习，是一个不停地介绍新概念的过程。但这些概念是怎么来的，为什么叫这个名字，为了解决什么问题，课本中一概不提。 Wilkes 则发明了一个“前数学”【pre-mathematics，即问题算法意识】概念。他认为，一个数学概念的提出，一定是为了解决一个什么问题，这个概念，就是这个问题解决方法的“缩写”，或者说“名称”。 那么，我们要很好地理解这个概念，一定要从这个问题入手，看看发明这个概念的人，解决这个问题的思路是什么样的。 如此，我们可能会发现说不定还有其他解决办法，而这种解决办法，恰恰又是另外一个概念。 打个比方吧，书中介绍了长方形的面积公式为什么是“长乘高”。 朋友们，想想看，为什么长方形的面积是长乘高呢？你能够讲清楚吗？ 你如果手头有这本《烧掉数学书》，会发现有一个副标题：重新发明数学。而这正是这本书的主题：讨论从模糊和定性到精确和定量的过程。也就是——如何自己发明数学？这个发明数学有两个层面的意思。一是我们自己创造新的数学概念；二是学习如何重新发明已经被发明的，在我们数学课本中到处都有的概念。第一个方面，如我们大多数人在写论文时“建立模型”，其实就是自己发明创造数学概念的过程。第二个方面，多是属于纯数学，我们其实是重走一遍发明思维路径，目的是获得对数学概念更深层次的理解。请记住，这是这本书的主题所在。所以，这本书的主要内容，就是尽可能诚实可信地解释数学世界的一部分，确保数学概念发明路径中的每一步，隐藏在历史尘埃中的秘密都毫无保留地呈现于读者面前。 離婁上。孟子曰：「離婁之明，公輸子之巧，不以規矩，不能成方員：師曠之聰，不以六律，不能正五音；堯舜之道，不以仁政，不能平治天下。今有仁心仁聞而民不被其澤，不可法於後世者，不行先王之道也。「故曰，徒善不足以為政，徒法不能以自行。《詩》云：『不愆不忘，率由舊章。』遵先王之法而過者，未之有也。聖人既竭目力焉，繼之以規矩準繩，以為方員平直，不可勝用也；既竭耳力焉，繼之以六律，正五音，不可勝用也；既竭心思焉，繼之以不忍人之政，而仁覆天下矣。「故曰，為高必因丘陵，為下必因川澤。為政不因先王之道，可謂智乎？是以惟仁者宜在高位。不仁而在高位，是播其惡於眾也。上無道揆也。下無法守也，朝不信道，工不信度，君子犯義，小人犯刑，國之所存者幸也。「故曰，城郭不完，兵甲不多，非國之災也；田野不辟，貨財不聚，非國之害也。上無禮，下無學，賊民興，喪無日矣。《詩》曰：『天之方蹶，無然泄泄。』泄泄，猶沓沓也。事君無義，進退無禮，言則非先王之道者，猶沓沓也。故曰：責難於君謂之恭，陳善閉邪謂之敬，吾君不能謂之賊。」 離婁上：孟子曰：「規矩，方員之至也；聖人，人倫之至也。欲為君盡君道，欲為臣盡臣道，二者皆法堯舜而已矣。不以舜之所以事堯事君，不敬其君者也；不以堯之所以治民治民，賊其民者也。孔子曰：『道二：仁與不仁而已矣。』暴其民甚，則身弒國亡；不甚，則身危國削。名之曰『幽厲』，雖孝子慈孫，百世不能改也。《詩》云『殷鑒不遠，在夏后之世』，此之謂也。」告子上：孟子曰：「羿之教人射，必志於彀；學者亦必志於彀。大匠誨人，必以規矩；學者亦必以規矩。」盡心下：孟子曰：「梓匠輪輿能與人規矩，不能使人巧。」 (算)數也。論語。何足算也。鄭曰。算、數也。古假選爲算。如邶風不可選也。車攻序因田獵而選車徒。選皆訓數是也。又假撰爲算。如大司馬羣吏撰車徒。鄭曰。撰讀曰算。謂數擇之也是也。筭爲算之器。算爲筭之用。二字音同而義別。从竹具。从竹者、謂必用筭以計也。从具者、具數也。讀若筭。【廣韻】物數也。【儀禮·鄕飮酒禮】無算爵，無算樂。【註】算，數也。賔主燕飮，爵行無數，醉而止也。燕樂亦無數，或閒或合，盡歡而止也。【前漢·景帝紀】後二年詔曰：今訾算十以上廼得官，廉士算不必衆，有市籍不得官，無訾又不得官，朕甚愍之。訾算四得官，亡令廉士久失職，貪夫長利。【註】應劭曰：古者疾吏之貪，衣食足，知榮辱，限訾十算廼得爲吏。十算，十萬也。賈人有財，不得爲吏，廉士無訾又不得官，故減訾四算得官矣。師古曰：訾與貲同。又計歷數者也。【世本】黃帝時隷首作算數。【前漢·律歷志】算法用竹，徑一分，長六寸，二百七十一枚而成六觚，爲一握。徑象乾律黃鐘之一，而長象坤呂林鐘之長。又【藝文志】曆家有《許商算術》二十六卷，《杜忠算術》十六卷。【後漢·馬嚴傳註】《劉·九章算術》：方田第一，粟米第二，差分第三，少廣第四，商功第五，均輸第六，盈不足第七，方程第八，句股第九。又投壷較射，數勝負之籌曰算。【儀禮·鄕射禮】一人執算以從之。【周禮·春官】《太史》：凡射事，飾中舍算。【註】謂設算於中，以待射時而取之，中則釋之。【禮·投壷】二算爲純，一算爲奇。【註】純，全也。二算合爲一，全也。一算謂不滿純者。算之多少視坐上之人數，每人四矢，亦四算也。又籌畫也。【揚子·法言】爲國不廸其法，望其效，譬諸算乎。【註】欲治而不用先王之法，猶無財運算，無益于富也。又智也。【列子·力命篇】自長非所增，自短非所損，算之所亡若何。【註】算，猶智也。又與筴同。【儀禮·旣夕】主人之史請讀賵執算。【註】古文算皆爲筴。 (數)計也。六藝六曰九數，今九章筭術是也。今人謂在物者去聲，在人者上聲。昔人不然。又引伸之義、分析之音甚多，大約速與密二義可包之。 (量)稱輕重也。稱者、銓也。漢志曰。量者、所以量多少也。衡權者、所以均物平輕重也。此訓量爲稱輕重者。有多少斯有輕重。視其多少可辜搉其重輕也。其字之所以从重也。引伸之凡料理曰量。凡所容受曰量。似乎字形从日从里，即测量日影。立杆测影。古代测量日影的工具为圭表。【周禮·春官】土圭以致四時日月，封國則以土地。【註】土，猶度也。土圭，测日景之圭。 度量衡，是指在日常生活中用于计量物体长短、容积、轻重的物体的统称。数学几何力学。 量和量化to measure; magnitude; quantum; quantity; quantification。规矩，ruler。 「量」字的構形初義未有定論。甲金文從「日」從「東」，「東」象囊袋，異體從「田」，疑「量」是「糧」之初文(裘錫圭)，本義是糧田。一說會太陽底下量度東西之意(于省吾、劉興隆)，本義是衡量、量度。《說文》：「量，稱輕重也。从重省，曏省聲。𨤦，古文量。」甲骨文構形有多種說法，何琳儀認為從「昜」從「東」，昜、東共用豎筆，「昜」是量的聲符。孫常敍認為不從「日」，所謂「日」形象囊袋的袋口，象張囊橐之口以量物之形，按此說與字形不合，「東」已象袋子上下兩端皆有束縛，故不能再象袋口。郭沫若認為此字是「亮」的古文，象太陽從東方昇起，大放光明，按此說雖可從聲音方面說明「亮」與「量」的關係，但除音理之外，與「量」字的用義難以連繫。甲骨文又有從「田」和從「束」之形，或不從「日」而從「子」形，所謂「子」形疑為筆畫增繁所致。甲骨文用為人名和地名，金文用為國名和人名，戰國竹簡用作衡量之意，《上博楚竹書二．容成氏》：「不量丌(其)力之不足」。又表示度量衡之度量，《睡虎地秦簡．為吏之道》：「慎度量」。 measure：测量，尺度，方法。来自古法语 mesurer, 测量，来自拉丁语 mensurare, 测量，检测，来自 PIE * me, 测量，词源同 meter,commensurate.——巫，工，magic。 magic：魔术，魔力。来自拉丁语 magus, 魔术师，巫师，智者，来自 PIE * magh, 使有能力，赋予力量，词源同 machine,might. 引申词义魔术，魔力。该词 PIE * magh 与 PIE * gno ( can,know )的区别在于前者的力量偏重于外人赋予，而后者的力量偏重于自身固有。琐罗亚斯德教的祭司被称为 Magi ，意思是“哲人”、“贤人”、“知晓神的奥秘的人”。据《圣经》记载，耶稣出生时，几个 Magi 在东方看见伯利恒方向的天空上有一颗大星，于是便跟着它来到了耶稣基督的出生地，并给耶稣带来了礼物，这就是圣诞礼物的由来。美国著名文学家欧·亨利写的短篇小说《麦琪的礼物》（ The Gift of the Magi ）中，就用了这个典故。 arithmetic：算术。来源于希腊语 arithmos (数字)和 arithmetike (计算技术) , 在拉丁语中为 arithmetica, 古法语为 arismetique 。词根 arith, 计算，词源同 read, 读，计算。 -m, 插入鼻音字母。mid-13c., arsmetike, from Old French arsmetique (12c.), from Latin arithmetica, from Greek arithmetike (tekhne) "(the) counting (art)," fem. of arithmetikos "of or for reckoning, arithmetical," from arithmos "number, counting, amount," from PIE root *re(i)- "to reason, count" (cognates: Old English, Old High German rim "number;" Old Irish rim "number," dorimu "I count;" Latin ritus "religious custom;" see read). geometry：几何（学）geometry 原指“大地测量”来自希腊语， ge 即“ earth ”； metro ，“ measure ”（测量）。现在的“大地测量学”叫 geodesy 。词根 geo- 指“大地，土地”，如 geography （地理）， geology （地质学）；词根 metr- 指“测量”，可用同源的 meter （米；计量器）体会，同根词还有 diameter （直径）等；字面义是“测量大地”，古埃及修建尼罗河水利工程，曾进行测地工作，后逐渐发展为几何学。 algorithm（算法）：伟大的波斯数学家阿尔·花刺子模。阿尔·花刺子模全名为穆罕默德·本·穆萨·阿尔·花剌子模（ Muhammad ibn Msa al Khwarizmi ），出生于波斯北部城市花剌子模，是阿拉伯阿拔斯王朝著名数学家、天文学家、地理学家，代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”。公元830年，阿尔·花剌子模写了一本有关代数的书，英语单词 Algebra （代数）就来源于这本书的书名中一个单词。书中阐述了解一次和二次方程的基本方法，明确提出了代数学中的一些基本概念，把代数学发展成为一门与几何学相提并论的独立学科。阿尔·花剌子模还出版了一本数学著作，介绍了印度的十进制记数法和以此为基础的算术知识。13世纪，意大利数学家斐波那契（ Fibonacci ）将这套十进制计数法和算术方法引介到欧洲，逐渐代替了欧洲原有的算板计算及罗马的记数系统。0~9等十个印度数字也因此被欧洲人误称为阿拉伯数字。意大利人将他的名字翻译成拉丁语 Algorismus ，并将他在这本著作中讲解的基于十进制计数法的算术方法也称为 Algorismus 。英语单词 algorism （算术）一次就来自拉丁语 Algorismus ，后来被单词 arithmetic （算术）逐渐替代，很少使用。而 algorism 的异体，英语单词 algorithm 却随着计算机科学技术的发展得以发扬光大，表示计算机领域的专业术语“算法”。 calculus：微积分。来自词根 calc, 小石子。指古时用小石子计数，现指数学术语微积分。 资料。数学学科关键能力。《周礼》“九数”指的是《周礼·地官司徒·保氏》所言：“保氏掌谏王恶而养国子以道，乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数。”这就是古代教育必须学习的礼、乐、射、御、书、数六门功课，“九数”是指“数”学这门功课有九个细目。但《周礼》并没有列出。东汉郑玄在他的《周礼注疏·地官司徒·保氏》中引郑司农（郑众）所言：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也。” 2022年新修订的课程标准中指出数学核心素养主要包括：“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界”，在不同的阶段具有不同表现：在小学阶段主要表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识。在初中阶段主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识。 基础数学也叫纯粹数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式 数学可以分成两大类：一类叫纯粹数学；一类叫应用数学。数学的第一大类。它按照数学内部的需要，或未来可能的应用，对数学结构本身的内在规律进行研究，而并不要求同解决其他学科的实际问题有直接的联系。数学的第二大类。它着重应用数学工具去解决工作、生活中的实际问题。在解决问题的过程中，所用的数学工具就是基础数学。我们把从小学到大学所学的数学学科称之为基础数学。数学本就是基础学科，基础数学更是基础中的基础。它的研究领域宽泛，理论性强。主要是指几何、代数（包括数论）、拓扑、分析、方程学以及在此基础上发展起来的一些数学分支学科，具体的分支方向包括：射影微分几何、黎曼几何、整体微分几何、调和分析及其应用、小波分析、偏微分方程、应用微分方程、代数学等。 形是容易感知的，我们一睁开眼睛就会看到各种各样形状的物体。数却是一个抽象的概念，但其形成也有很长历史了。据考证和研究，人类在洞穴时代就已有数的概念了，若干动物也有数的概念。刚开始时，实际的需要产生了加法、减法、乘法、除法等运算，长度、面积等概念。到公元前3000年，数学的应用范围就很广了，如税收、建筑、天文等。数学从理论上系统研究始于古希腊人，在公元前600年至公元前300年期间，代表人物有毕达哥拉斯、欧几里得等。欧几里得的《几何原理》采用公理化体系系统整理了古希腊人的数学成就，2000多年来一直是数学领域的教科书，其体系、数学理论的表述方式和书中体现的思维方式对数学乃至科学的发展影响深远。 数和多项式方程及相关的数学分支。我们认识数学基本上都是从数开始的，然后是简单的几何与多项式方程。数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。多项式方程是从实际问题和数的研究中自然产生的。在对数和多项式方程的认识和探究过程中，代数、数论、组合、代数几何等数学分支逐步产生。 所谓数学思维，我理解的正是这样——我们不应该记忆分配律，而是应该将分配律与现实世界的哲学观念相对应，即“整体等于部分之和”。也就是说，当我们看到数学公式，我们应该看到的是它想要表达的这个世界的本质——这就是我理解的数学思维。 现在，虽然人人都使用“数学”这个词来对译mathematics，但如果回到源头，其实是不太准确的。 首先，在拉丁语和希腊语中，mathematica其实曾经含义很广，泛指科学、知识、学习等，甚至最早来自原始印欧语的*men“思考”一词（与mind，man同根）。直到近代，才逐渐狭义为抽象的数量知识（the abstract numerical sciences）。 也因此，在《几何原本》译介入中国时，mathematica被翻译为“几何之学”，即，关于数量（多少、大小）的学问。 徐光启和利玛窦在《译几何原本引》中说：几何家者，专察物之分限者也，其分者若截以为数（注：number，原义即分开的、离散的），则显物之几何众也；若完以为度（注：quantity，即量，多大的，连续的），则指物几何大也。其数与度或脱于物体而空论之，则数者立算法家，度者立量法家也。或二者在物体而偕其物议之，则议数者如在音相济为和而立律吕乐家，议度者如在动天迭运为时而立天文历家也。 简单地说，传统的“数学”——几何之学——实际包含了数的计算和量的测度两个层面，并衍生出包括算术（arithmetic，古译算法）、几何（geometry，原意大地测量，古译量法）、音乐、天文历法等多种学科内容。（特别是，只有当我们明白“数”与“量”的区别和联系时，才会搞清楚很多复杂数学的基本原理。） 厘清这段故事，我们会发现，现代人关于“数学”的本质其实也是重新建构的。因为原初数学的诞生，在于人们对事物的数和量进行计算、测度这一行为过程，而对数量本身的抽象思考只不过是其副产品（按古人说法，即“活数”和“死数”的区别）。 在中国数学经典中，如《周髀》《九章算术》《孙子算经》、历代史书中的天文志、律历志、食货志等，算术、代数、几何、天文历法、音乐、经济统计等从来不分家，而总之以“算”。所谓“立规矩，准方圆，谨法度，约尺丈，立权衡”。周髀，即是测量天地万物大小的圭表，简化出来便是“规矩”，即圆规和矩尺。在《孙子算经》，作者对“算”，更上升到了“天地之经纬，群生之元首……万物之祖宗，六艺之纲纪”的高度。换句话说，这种数学是人们理解宇宙、建立所有知识的基础之基础。 但是，由于现代科学对“数字理性”（numerical reasoning）的极端追求，纯粹抽象的数学才诞生了，以狭义推翻了广义。关于数学的学习，才走入了很多奇怪的误区。其实是人们画地为牢，把原本广阔无垠的数学海洋变成了一个个堰塞湖，把跨学科思维的数学变成了一种工具箱。 最有名的例子，当然就是微积分。相信对大部分文科生而言，一听到这个词就头大了。原因就在于，现代教科书是按演绎逻辑的方式编写的，总是先讲极限、导数。首先上来一个“无穷小”概念，就把很多人弄晕了；接着，“导数”（derivative）这个词的翻译又把人弄晕了（当然对抽象思维厉害的人例外）。 而实际上，极限和导数，反而是在微积分诞生两百年后才产生的，以弥补微积分的逻辑漏洞。这种编辑方式本身是无可非议的，它正是数学严谨性的体现。但是，就像一个包含斧头、螺丝刀、钳子、胶布等工具的工具箱被打包之前，各种工具的建构方式实际上是极其不同的。 众所周知，微积分是牛顿和莱布尼兹在计算天体运动的“瞬时速度”时发明的。甚至，微积分的思想萌芽在古代土地测量和天文计算中就已经产生了，比如圆面积公式的推导就是积分思想，测量山高水深的“重差法”、处理历法数据的“插值法”，即包含微分思想。而微积分的根本不同在于，人们找到了一套不同于既往的，“平均的”粗糙的描述方法，代之以“瞬间的微观的”科学（如平均速度和瞬时速度）。 对大部分人，搞清楚这段历史，反而比直接从逻辑推导学习更加有效和有意义。（推荐B站视频《初中生能看懂的微积分》） 这也难怪数学家丘成桐曾提出自己的惊异了。在他看来，几何、代数和微积分是任何科学都必须掌握的基础知识。当年牛顿因为物理学需要而发明微积分，而现在中学物理竟然避免用微积分和群论，这完全背离了物理学发展的历史规律，也是中学物理难教的根本原因。（《关于数学教育的意见》） 規。從「夫」，從「見」。本義為法度、準則。《說文》：「規，有法度也。从夫从見。」段注：「會意。丈夫所見也。公父文伯之母曰：『女智莫如婦，男智莫如夫。』《字統》曰：『丈夫識用，必合規矩。』故規从夫。」如《文選．屈原〈離騷〉》「偭規矩而改錯」，呂延濟注：「規矩，法則也。」唐代韓愈〈寄崔二十六立之〉：「諸男皆秀朗，幾能守家規。」 古書中常以「規矩」並稱，「矩」的本義是矩尺，故一說「規」的本義是圓規，即畫圓的工具。如《墨子．天志中》：「今夫輪人操其規，將以量度天下之圜與不圜也。」《孟子．告子上》「必以規矩」，趙岐注：「規，所以為圓也。」「規」也表示畫圓的動作，如《國語．周語下》「其母夢神規其臀以墨」，韋昭注：「規，畫也。」又表示圓形，如《楚辭．大招》「曾頰倚耳，曲眉規只」， 王逸注：「規，圜也。」 「規」表示規勸、勸諫。如《尚書．胤征》：「官師相規，工執藝事以諫。」蔡沈集傳：「規，正也。」《左傳．襄公十四年》「工誦箴諫，大夫規誨」，杜預注：「規，正諫誨其君。」孔穎達疏：「規，諫也。」 「規」又有謀求、謀劃的意思。《國語．周語中》：「規方千里以為甸服」，韋昭注：「規，規畫而有之也。」《顏氏家訓》：「入帷幄之中，參廟堂之上，不能為主畫規以謀社稷，君子所恥也。」 「規」通作「窺」、「闚」，表示窺視、窺察。《管子．君臣上》「大臣假於女之能，以規主情」，丁士涵云：「規，古窺字。」《韓非子．制分》「然則去微姦之道奈何？其務令之相規其情者也。」顧廣圻：「規，讀為闚。」出土文獻也有例子，《馬王堆．老子甲本》第20行：「不規（窺）於牖，以知天道。」北大漢簡《老子》簡27：「不規（窺）於牖，以智天道。」皆以「規」為「窺」。傳世王弼本《老子》四十七章：「不闚牖，見天道。」河上公本《老子》作「不窺牖，［以］見天道」。 在数学家吴文俊看来，这正是因为东西方数学在起源上就产生了巨大差别：西方数学是公理演绎化的数学，东方数学则是算法化的数学。 “我们古代数学的精髓就是从问题出发的精神，和西方从公理出发完全不一样。为了从问题出发，解决各式各样的问题（表现为解方程），就带动了理论和方法的发展。从问题出发，以问题带动学科的发展，这是整个数学发展的总的面貌。”（《东方数学的使命》） 现在看来，吴文俊的发现，不仅帮助他解决了数学上的很多难题，开创了数学机械化研究及应用的新领域。更重要的是，它还给数学教育提供了一种新思路：即从数学史的比较研究，“公理—演绎”和“问题—算法”思维两种不同角度，“出入相补”，去重建“跨学科思维”的数学教育。 正如参与美国数学教育改革的道格拉斯·格劳斯教授所言：“数学如何教，往往取决于老师或社会对数学抱有什么信念。当数学被看作工具时，教学方式便通常是反复操练；当数学被视为了解周围事物的重要知识时，老师也会构建一种架构来帮助学生把握各种技能之间的联系；当老师认为数学的真正价值在于发现新联系的过程时，他自然会引导学生通过分析归纳法来学习。” 反复的练习和生活化的建构式学习，在学习过程中都是必要的，它们只是服务于不同的目的。 谈到具体教学，数学家丘成桐即说，凡是公式学习都讲求推导和直观意义，往往忽略了数学符号运算的威力。“正如背诵乘法表可让我们快速掌握四则运算，物理学家或工程学家大量使用数学家推导的公式而不发生疑问，同样也使科学不停地进步。可见学习的过程有时不见得渐进，有时也容许突进。” 同样地，如果只是做题，而不懂得推导和证明过程，对于一个人的理性思维成长，未来进入更高层次的学习，代价都是巨大的。 现在，当我们回顾中学教育，开始学习几何定理时，可能已经很难再想象，这样的“公式”诞生之初给人类带来过多少惊奇和成就了。 它们不仅仅是一张纸上的习题。人们曾用它来测量山的高度，水的深度，计算每次太阳和月亮的合朔，记录太阳经过每片天空的刻度和时间，甚至，是天地之大小（尽管这是错误的）……但现在，它们似乎也像山水和繁星一样，被淹没在炫丽的高楼和灯光之间了。 从这个意义上，重建我们的数学教育，不啻说，是重建人类对于世界的想象力。 就如同那个古老的寓言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”。数学，不过是人类面对浩瀚宇宙不断突破自身局限的一个桥梁而已。 |
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