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上一期我们介绍了阿氏圆，在最后还留了一个小练习，我们先来看一下解答：  本期内容我们来看一下高数下册学习的梯度、散度、旋度在电磁学中的应用。我们先来简单回顾一下相关概念和知识点：    在高数里还有一个犄角旮旯的知识点，叫哈密顿算子。我这么说可能好多人还一头雾水不知道是啥，但我亮出它的符号以后，估计就没有人不知道了。▽就是哈密顿算子，读作“del”或“Nabla”。定义如下：  梯度、散度、旋度都可以用含它的式子写出来，而且非常简洁和常用，电动力学中都是用含▽的形式写的，具体形式如下：  另外还有一个拉普拉斯算子，在高数书里更是只提了一嘴，它写作▽²或Δ，定义是▽·▽，这在后面推导泊松方程和拉普拉斯方程时会用到，具体展开是这样的：  高数书上还有3个积分公式——格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，他们的地位和牛顿-莱布尼茨公式相当，都是起到了可以让积分“降维”的作用。其实格林公式就是斯托克斯公式的二维情况，因为斯托克斯公式里有一部分就是格林公式，所以讨论高斯公式和斯托克斯公式就好了：  铺垫了这么多，接下来要电磁学上场了。我们知道麦克斯韦方程组由4个方程构成，分别是电场的高斯定理和环路定理和磁场的高斯定理和环路定理。4个方程的积分形式如下：  这些积分形式的方程又何尝不能用高斯公式和斯托克斯公式转化为微分形式呢？转化出来是这样的：  以上就是梯度、散度、旋度在电磁学中最经典的应用。我们知道静电场中还有一个重要的概念叫电势，它是一个标量，因此在计算时比起矢量有很大的优势。电场和电势的微分关系是：电场是电势的负梯度。数学物理方程中有一类非常重要的方程，它在电磁场理论中的地位举足轻重，它就是泊松方程，和它齐名的是拉普拉斯方程。  可以看出，拉普拉斯方程就是泊松方程的特殊情况。二者都是二阶偏微分方程，泊松方程是非齐次的，拉普拉斯方程是齐次的。因此要求解泊松方程，绕不开求解拉普拉斯方程。 今天的内容就到此结束了。同样给大家留一道习题巩固一下今天所学的知识点： 在真空中，将点电荷Q（Q>0）放在坐标原点O上，空间中任一点的位置矢量为r，试计算： （1）点电荷电场E在以O为球心，R为半径的球面上的通量； （2）divr、divE和rotE（r≠0）。 解答同样会在下一期开头公布。下一期我们要介绍镜像法的理论基础——唯一性定理，敬请期待。 |
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