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数学家哈代曾经写过一本书《一个数学家的辩白》，我没有他那样深刻洞察数学的能力，写不出深刻的东西，因此只能做一些整理的工作。今天这期我们就来整理一些数学家们基本都会知道，但没学过数学的人可能比较少知道的事情，我会尽量写的通俗易懂一点，希望你能喜欢。 
我经常把数学同一头母牛做比较。数学可以被认为是一个活的有机体，它首先得满足自己的需要才能生存。我们都知道奶牛很有用，因为它给了我们很多牛奶，她的乳房绝对是属于应用数学，你当然可以告诉人家，说最有用的牛就是应用数学。 
但是我想公牛是不会同意的，因为为了要生产牛奶，奶牛每年都需要与公牛定期会和，所以你大可以把纯数学和公牛做类比，那些纯数学家一定会很高兴的。好了，段子讲完了，就系好安全带，让我们开始吧。 
基本知识 数学博大精深。我认为大多数人都隐约意识到还有一些微积分之外的东西，但据我所知，很少有人确切地了解其中的内容。在过去的两百年中，数学进入了知识爆炸的时代，以至于一个人不再可能熟悉数学的每个领域和子领域，也就不会再出现像庞加莱这样全知全能的数学家了。 数学与数字无关。因为它更多的是一种非描述性的东西。除了大多数人熟悉的代数结构，像是群，环，域之外，还有许多其他类型的代数结构，并且哪些是数字与哪些不是数字之间的区别非常随意。 数学不是解方程。数学工作中虽然经常出现方程，解各类方程也有很多有趣的结果和猜想。但是即使某些方程没有可以用初等函数表示的封闭解时，还会有很多非常有趣的结果。这点可以参考解析解梦想的破碎——定性理论的发展：方程仍然是工具，但远非唯一的工具。例如在拓扑学中几乎是看不见方程的。 数学是关于结构的研究。不同的数学家对什么是数学或许会有不同的观点，但是大部分都会同意结构在数学中的重要作用。 数学中的对象不是通过它们是什么来描述的，而是通过它们做什么来描述的。这是一种从古典数学到现代数学重大的思想转变。 数学不受物理定律的约束，只受逻辑定律的约束。这可能是一个有争议的断言，所以让我澄清一下我的意思。我的意思是，如果我们发现空间是弯曲的，这并不意味着欧式几何作为一种数学理论是错误的。它仍然和欧几里得写《几何原本》时一样真实——只是我们发现它不是一个好的时空模型。这一点我想你可以参考：非欧几何的诞生，从平行线第五公理谈起。现代数学家们不太担心他们创建的任何数学结构是否会有物理模型。 数学很有用。考虑到前一点，这是非常令人惊讶的。然而，当你在数学中构建某些东西时，你永远不知道它如何与其他一切联系起来。 数学从根本上来说是创造性的。20世纪最著名的数学家之一希尔伯特曾评价他一位学生说，这个年轻人没有足够的创造力成为一名数学家，但现在他成为了一名诗人。尽管这句话可能是在开玩笑，但它有一定的道理。因为数学仅受逻辑定律的约束，如果一个人有足够的创造力去发现它，就可以发现非常令人惊讶和深刻的联系。看到一个数学领域与另一个领域有一些联系并不是一件简单的事情。举例来说笛卡尔认识到方程和几何之间存在联系，产生了我们现在认为理所当然的笛卡尔平面。比伽罗瓦发现群论域论与多项式方程的求解之间存在联系，你很难否认它是一件充满创造性的事情。
数字和数字系统 数字并不是它的本质。很多人看到类似的东西都会感到困惑如0.999 … = 1，因为这里有两个不同的东西被告知是相同的。让我澄清一下：有很多不同的方法来表示一个数字。这适用于整数、有理数、实数以及任何你可能喜欢称之为数字的东西，在数学中表示形式并不重要，人们之所以会产生困惑，在于大多数人根本不知道实数到底是个什么东西。 无理数很奇怪。它们的定义方式有点古怪——类似于一个“填补漏洞”的过程。你从有理数列开始。有理数序列An越来越接近某物（或者有理数列本身是一个柯西列，可以参考实数完备性——柯西列介绍）当n变得非常大，但极限却不是有理数。 复数并不是很奇怪。至少在当今时代，它被大量应用。
集合论和无穷大 无穷大不是一个明确定义的概念。更准确地说，数学家在谈论“无穷大”时可能会想到许多不同的概念，而且它们都非常不同。外行人经常会遇到问题在于将无穷大视为一个数字，并将无穷大的不同概念混为一谈。 无限集有多种不同的尺寸。更准确地说，数学家赋予无限集一个“大小”的概念，称为基数。如果您可以匹配（双射）两个集合的元素，则称两个集合具有相同的基数 ，比方说您不需要计算千足虫的腿数就可以知道千足虫左右两边腿数一样多，因为你可以直接将它们匹配。令人惊奇的是，自然数、偶数和有理数都可以这样匹配，因此它们具有相同的基数，叫做可数无穷。然而，实数还有另一个更大的基数。 不存在“最大”的集合。您可以继续构建越来越大的集合。从某种意义上说，正是因为这样才会导致"罗素悖论"，并迫使数学家们重新审视数学的基础。
函数与实分析 函数不是“规则”。我发现很多人有一个误解，认为函数是某种规则，例如f(x)=x+3,这并不完全错误，但将函数视为匹配输入和输出的一种方式会更正确。也就是说，你有某种黑匣子。你给这个黑盒子一个输入，它会给你一个输出——唯一真正的限制是给定一个特定的输入，输出必须始终相同。它不可能有时是“蓝色”，但有时会是“红色”，如果那天它真的很不高兴，它会返回“5”。黑匣子将采用的输入集放在一起构成定义域。输出集叫做值域。就是这样,这就是函数的全部内容。当然人们在说函数的时候，更多的指的是从实数到实数的黑盒子。 大多数函数都不是连续的。当然，这取决于你选择如何定义“大多数”，但几乎任何合理的定义都会给你这个结果。 存在一个只有一点连续的函数 存在一个仅在一点处可导的函数。 存在可导但非解析的函数（即不收敛于其泰勒展开式） 实值函数的行为一般来说很糟糕。
复分析 复值函数的行为比实数要好得多 全纯函数（解析函数）几乎是有史以来最伟大的事情。全纯函数的结构化程度始终让数学家感到惊讶。它可以从少得可怜的小信息中完全重构，有时甚至只需要知道它增长的速度以及它在哪里为零。我们就能解构出整个函数。 
我想我还能写出很多，但我尽量克制自己在本科水平的数学，还是希望有更多的人愿意去了解这门学科，就像哈代当年所做的那样。不过我的目的显然也没有那么高尚了。好了不多说了，下期
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