|
【教学目的】 1.通过学习简单“一笔画”的规律，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣，帮助学生进一步理解“一笔画问题”的实质与操作方法； 2.让学生知道什么是单数点及双数点，并能通过单数点的个数判断图形是否能够一笔画；同时知道“七桥难题”，激发学生数学探究欲望； 3. 运用“一笔画”解决生活中简单的实际问题，体验数学与生活的紧密联系。 【基本玩法】 一笔画问题是一个简单的数学游戏，它研究的是平面上由曲线段构成的图形的连通性。具体来说，一笔画问题就是从图的一个点出发，连续地沿着图的每条边恰好画一次，在画图过程中，笔是不能离开纸的。 你能用一笔画出下列图形吗？
【指点迷津】 一笔画问题所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关。例如，汉字'日’和'中’字都可以一笔画的，而'田’和'目’则不能。上面的其他图形也可以一笔画成。 这是为什么呢？原来这与一个图形的“奇点”和“偶点”有关。 我们先来了解什么是“交点”。数一数下列图形各有几个交点？
交点分为两种： （1）从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点（奇点）。比如下面的图形就是这样的：
（2）从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点（偶点）。比如下面的图形就是这样的：
总结如下： 一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。 （1）一笔画必须是连通的（图形的各部分之间连接在一起）； （2）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。 （3）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成。画时必须从一个单数点为起点，以另一单数点为终点。 （4）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。 下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
我们主要来看每个图形的“奇数点”和“偶数点”的个数。通过观察与数点，我们发现：上面一排的中间一个图形、最后一个图形和下面一排的最后一个图形的“奇数点”个数超过了两个，所以不能一笔画成。其他四个图形是可以一笔画成的。 可以一笔画成的图形有： 不能一笔画成的图形有：
【知识链接】 上面总结的规律，其实是由瑞士的著名数学家欧拉在18世纪就找到的。这是一个了不起的数学家！ 欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的。在连通图中，凡是有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成，画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。而其他情况的图都不能一笔画出。 说到欧拉，不能不提“七桥难题”。 早在18世纪的欧洲古城哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）市，普莱格尔河穿城而过，其中一段的河中有两座小岛，当时在人们在此建了七座古桥与陆地连接。
当时城里的居民闲暇时经常在这里散步，于是就传出了一个有趣的问题： 是否能够一次走遍所有七座桥，而且每座桥只能走过一次？ 这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人尝试了各种各样的走法，只是日子一天天过去，谁也没有做得到。 这就是著名的“七桥问题”，哥尼斯堡也因此出名。 后来瑞士数学家欧拉听说了这个问题，对这个问题进行了研究。他并没有到达哥尼斯堡，只是画了一张图就解决了问题。 在图中欧拉舍去了所有的物理条件，陆地和小岛只不过是桥的连接点，其大小、形状与问题无关，所以陆地和小岛可视为点。桥是必须经过的路线，它们的长短、曲直也与问题无关，因此可以用任意7条曲线表示。
欧拉经过研究认为：这个图形是不能一笔画出的，所以不能不重复地一次走遍七座桥。
【挑战进阶】 一笔画问题在生活中有着重要的应用，比如洒水车进行清洗马路的工作，怎样设计一种科学的走法，使它既能完成洒水任务，又可以不重复地走过每条街道呢？这就是一笔画问题的应用之一。 总的来说，一笔画问题可以帮助学生理解图形的连通性，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。 【挑战开始】最后我们再次挑战“一笔画”问题。 请同学们观察下列图形，它们都能一笔画成吗？
图7 【参考答案】 上面的图中，3、4不能一笔画成，其他都能一笔画成。 |
|
|
