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最近看刘润的书提到吴军老师解释的数学思维，找到吴军的数学通识讲义，对微积分的描述很有启发，无论是对工作还是让儿子理解学习规律都很有帮助，摘录整理一下。 很多人一听到“微积分”，就想起那些复杂的微分方程、积分方程， 就会头疼。其实微积分的思维方式其实特别简单。大部分人认为微积分牛顿发明的，当然这儿有个争议，也有说是莱布尼兹发明的。其实在牛顿以前，人们对速度这些变量的了解，仅限于平均值的层面。但是，每个瞬间的速度，我们并不了解。于是，牛顿就发明了微分，用“无穷小”这种概念来帮助我们把握瞬间的规律。而积分与微分正好相反，它反映的是瞬间变量的积累效应。 那么，到底什么是微积分？我举个简单的例子。一个物体静止不动，你推它一把，会瞬间产生 一个加速度。但有了加速度，并不会瞬间产生速度。当加速度累积一段时间后，才会产生速度。而有了速度，并不会瞬间产生位移。当速度累积一段时间后，才会有位移。宏观上，我们看到的是位移；微观上，整个过程是从加速度开始累积的——加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。这就是积分。反过来说，物体之所以会有位移，是因为速度经过了一段时间的累积。而物体之所以会有速度，是因为加速度经过了一段时间的累积。位移（相对于时间）的一阶导数，是速度。而速度（相对于时间）的一阶导数，是加速度。而位移的导数，就是从宏观回到微观，去观察它“瞬间”的速度，这就是微分。 微积分对我们的日常生活到底有什么用呢？ 1. 认识积分的累积效应 在生活中，积分思想的本质是要从动态变化来看累积效应。加速度累积，变成速度；速度累积，变成位移。其实人也是一样。你今天晚上努力学习了，但是一晚上的努力，并不会直接变成你的能 力。你的努力，得累积一段时间，才会变成你的能力。而你有了能力， 并不会马上做出成绩。你的能力，得累积一段时间，才会变成你的成绩。而你有了一次成绩，并不会马上得到领导的赏识。你的成绩，得累积一段时间，才会使你得到领导的赏识。从努力到能力，到成绩，到赏识，是有一个积分的过程，有一个累积效应。 简单说，能力是努力的积分，成绩是能力的积分，认可是成绩的积分。 2. 认识积分的滞后效应 凡是需要通过积分获得的能量，能力，它的结果都会滞后于瞬间变化，有时还要经过相当长的时间滞后才能察觉。而一旦被大家都察觉后，要逆转这个趋势是非常难的（惯性理论）。 当我们觉得自己了不起了，开始飘飘然了，停止努力了， 我们的能 力并不会马上跟着下降。可能过了三四个月，能力的下降才会慢慢显示出来，他会发现做事情不像以前那么得心应手了。当我们没有做好一些事情，慢慢累积下来，闯了祸再想扭转局面，为时已晚。 人的一个很大软点就在于我们开始努力的一瞬间，就指望马上看到结果，得到周围人的认可，而忘了累积效应。如果得不到别人的肯定，就觉得世界对他不公平，当他开始松懈下来的时候，一开始也不会就出问题，问题是逐渐暴露出来。大部分人都只会认为自己只是某件事没有做好，而不会反思其实很早就埋下了问题的种子。 微积分的思维方式，从本质上来说，就是用动态的眼光看问题。一 件事情的结果，并不是瞬间产生的，而是长期以来的积累效应造成的。出了问题，不要只看当时那个瞬间，你只有从宏观一直追溯（求导）到 微观，才能找到问题的根源所在。而如果你理解了微积分的思维方式，能够用动态的眼光来看问题，你就会慢慢体会到，努力需要很长时间才会得到认可；你就会拥有一个 平衡的心态，避免犯这样的错误。 学校学习也是同样的道理，平时认认真真学习积累到一定程度就会体现在阶段性成绩上，但达到一定高度，如果有所懈怠，慢慢就会降下来。始终有个加速度，这样学习会越学越轻松。 |
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