学好高中数学的秘诀：学会多维度思考

    高考数学想要取得好成绩，想要甩开其他人，数学成为自己高考的优势科目，就必须训练自己的多重思维，多角度的去看待和分析问题。本文带你学习如何将一道典型题目榨干其价值的方法和思路。如果你看完本文仅会这道题，那不是本文的初衷！本文的初衷是让你了解：1、什么是典型题目。2、针对典型题目如何从不同角度进行深入挖掘。3、每种解题思路使用的数学思想是什么？

下面以一题为例介绍，数学思维的拓展。

例：a^2+b^2=8，求5a+7b的最大值

这道题非常典型，解题思路有多种方法

思路1：配凑法（部分资料上又将这种典型的配凑单独起了一个名字“对偶式”）

给定的条件是二次式，而要求的是一次式，我们直接的思路就是将要求的代数式进行升元。那么怎么升元呢？最简单的是将待求式直接平方，但是会产生含ab的二次项，很显然a，b不一定全是正数，故不满足基本不等式“一正二定三相等”中“一正”的条件。那么有没有可能不出现ab的二次项。平方差公式的逆公式就可以啊！（a+b）*（a-b）= a^2-b^2。这个公式在一些需要创造条件进行配凑时非常好用，注意总结归纳。那是不是直接使用呢？直接使用会产生-b^2项不好处理。我们建立这样的等式关系：（5a+7b）^2+（7a-5b）^2，这样就既可以满足系数相同和直接利用条件了。具体计算就省略了，自己动手算领悟一下。是不是很有意思。

思路2：判别式法（部分资料上又称为设k法，但见比值设k最为常见）

将待求式直接设为k=5a+7b，将a用k替换带入到a^2+b^2=8，转化为含参的一元二次等式（方程）。此时变量b要有解△≥0，求解不等式即可。

本题的关键就是变量与参数的理解！什么是函数的自变量，什么是函数的参数。有时将自变量和参数相互转化，可以延伸出新的解题思路。平时做题时，务必注重理解。

思路3：数形结合

a^2+b^2=8和5a+7b分别代表了什么图形？前者是圆的标准形式，后者表示的是直线。如果不熟悉将a，b换成x，y再看看。本题是不是表示直线与圆必须产生交点，最大值是不是就变成了直线与圆的位置关系（相切时最大）。令5a+7b=l（l为截距），这样设的好处就是可以直接求出l（想一下设直线方程的一般式会怎样）。

思路4：柯西不等式

已知高次元求低次元时要考虑，解题时很方便。针对题目寻找最简便，最有效的方法，这也是学霸们高考时，为什么能上140的原因之一。如果使用其他方法，费时费力，且计算量都不少，也容易出错。

|a1b1 + a2b2|≤√(a1^2 + a2^2)×√(b1^2 + b2^2)此时a1=5，b1=a，a2=7，b2=b

思路5：三角换元法

因9sinа^2+9cosа^2=9，设a^2=9sinа^2，b^2=9cosа^2,再看一下a，b经换元后取值范围有没有改变，OK，没有改变！可以代换。将a和b直接代换到待求式。利用三角函数和差公式即可求解

思路6：拉格朗日乘数法

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法是一种通用方法！注意，这是大学数学才学习的知识，即如果在高考中要使用，则必须进行证明！所以在解答题中就不要用了。它是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。有余力的同学可以学习一下，在求最优问题，没有思路时，用此法即可。

定义：

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数F(x,y, λ)=f(x,y)+ λφ(x,y)，其中λ为参数。

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，

即F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0

  F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

  F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程组解出x,y，λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

几何意义：（曲线的切点）

    随着高考数学题目越来越重视创新性，越来越要有区分度，压轴题必然越来越难！然而，学过数学竞赛的学生，在高考数学中越来越占优势。其原因之一就是思维灵活，一道题目可以从不同角度去观察理解，并对比总结出高效的数学解题方法和归纳出核心的数学思想，并进行灵活的运用。所以数学思维是克敌制胜的法宝！无论命题人出的题目加了多少外壳，只要有合适的解题思路，就能按部就班的将其外壳脱掉，暴露出最核心的考点。

高考加油！