直线分圆与欧拉公式

如图,条直线可以将一个圆分成块,块,块或者块区域,最多是分成块. 那么条直线最多可以将一个圆分成几个区域呢？()[1]

这是中学数学一道经典的直线分圆问题, 常见的作法是根据递推关系求出通项公式. 由于本题研究的是线, 面之间的关系, 欧拉公式正是揭示连通图上点, 线, 面之间关系的一个恒等式, 那么是否可以用欧拉公式来求解此题呢？

欧拉公式

平面上的欧拉公式是指, 对于连通的平面图(例如下图), 顶点数, 边数, 面数满足公式

这里的不但包含被边围在内部的面, 而且还包含最外面没有边界限制、延伸至无穷远的那个面.

平面图定义：平面图是指可以画在平面上并且不同的边可以互不交叠的图.

比如，下面这幅图是平面图.

下面这幅个顶点的图就不是平面图, 因为没有办法使得边不相交.

那么下面这幅有个顶点的图是平面图吗？

是！因为可以将一条对角线移到外面, 使得边不相交, 如下图所示

连通图定义：如果图中任意两点都是连通的, 那么图被称作连通图. 其中两点连通是指存在从一点到另一点的路径.

也称为欧拉示性数.

欧拉公式有很多证明方法. 感兴趣的读者可以查阅文献[2].

直线分圆问题分析

回到我们的问题, 记为条直线分圆得到的最多的区域数. 从特殊情况易得如下结论：

最大化原则：要想分得的区域数最多, 要求直线两两相交, 交点两两不重合(任意三条直线不共点).

那么该问题是否可以用平面上的欧拉公式求解呢？以特殊情况为例, 在圆上作条直线, 如下图所示：

这显然不是平面图. 那么如果我们将直线间的交点看成是图的顶点, 啊哈, 如下图所示,

并且点点连通，于是为连通的平面图. 同时, 很容易求出顶点数和边数, 从而利用欧拉公式可以快速求出面数.

• 顶点数包含圆周上的顶点数和圆内部顶点数, 由于直线两两相交, 交点不重合, 于是圆内的顶点数为, 所以

• 边数包含圆周上的弧线数和圆内部直线段数, 其中内部直线段是这样计算的：共条直线, 其中每条直线都被其他条直线分成了段, 所以共有. 所以

• 公式中的面数包含了外层延伸至无穷远的那个面, 而直线分圆面所求区域数不含那个面, 所以

欧拉公式计算最大面数

特殊情形的分析可以推广到一般的情况, 在圆上作条直线, 将直线间的交点看成是图的顶点, 于是形成了一个连通的平面图.

• 顶点数包含圆周边缘顶点数和圆内部顶点数, 所以

• 边数包含圆周边缘弧线数和内部直线段数, 其中内部直线段是这样数的：共有条直线, 其中每条直线都被其他条直线分成了段, 所以共有.所以

• 公式中的面数包含了外层延伸至无穷远的那个面, 而直线分圆面所求区域数只统计圆内的区域, 不包含那个面, 所以

至此问题得到了解决. 不得不感叹, 欧拉公式确实是数学上最美公式之一.

更多思考

将本文开头的问题改变一些条件, 我们还可以思考下面这些问题：

1. 条直线最多可以将平面分成多少区域？

2. 条封闭曲线(比如圆, 椭圆)最多可以将平面分成多少区域？

3. 将二维问题推广到三维,个平面最多可以将空间分成多少部分？推广到更高维度呢？

参考文献

[1]T. S. Michael.How to Guard an Art Gallery[M].Baltimore: The Johns Hopkins University Press. 2009:1-13.

[2]欧拉公式的证明. https://www.ics./~eppstein/junkyard/euler/

互动答题

圆分平面

平面上有个大小相同的圆, 两两相交, 且交点不重合, 它们最多能把平面分成__________个区域.

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特约供稿

慕容玖

橘子数学社区核心成员

本挑战发布于橘子数学趣题【高中数学】频道.