线性代数的特点

线性代数研究的是代数学线性关系的经典理论，其理论及方法广泛地应用于各个学科。它是我国高校非数学非文科专业的重要公共基础课之一，也是考研数学的重要组成部分，卷面分值30分左右。随着计算机技术的发展，该课程的重要性愈加明显。通过线性代数课程的学习，学生应该掌握线性代数的基本理论与方法，培养抽象思维能力、空间想象能力和计算能力，可以应用所学方法解决实际问题，为后续课程学习提供支撑。

一般而言，学生认为线性代数课程的特点是：公式多，式子大，符号繁，但规律性强，课程内容比较抽象，需要具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题的能力和动手解决实际问题的能力。其实，这些认识都是正确的，但也是直观的、表面的特点。根本上看，线性代数与其他数学类基础课程（高等数学和概率论与数理统计）相比，它的最大的特点有两个：

第一：线性代数的知识结构是网状的，而非树状的。或者说，线性代数的知识点更多的是“并联”，而非“串联”。如在高等数学中，我们的学习是渐进式的：只有学了极限，才能学习导数和积分；只有学了一元函数的微积分，才能学多元函数的微积分；只有学了多重积分，才能学习全曲线、曲面积分等。而在线性代数的学习中，可以说没有哪一个部分是必须先学，哪个部分必须后学。如有的教材从行列式开始讲解；有的教材从矩阵开始讲解；有的教材从向量组开始将以；还有的教材从线性变换开始讲解……，可以说线性代数的知识点是“牵一发而动全身”，从多个角度入手都可以顺利的完成线性代数全部内容的学习。

第二：线性代数是数学模型的数学模型，我愿意称呼它为“模型二代”（公认的说法是“第二代数学模型”，见戈丁《数学概观》），它具有更强的抽象性。如在高等数学中，我们研究导数可以直接对应在速度或加速度；研究定积分可以直接对应物体的面积或体积；研究曲线积分可以直接对应变力做功或流量。但在线性代数中，我们研究的线性方程组，当然可以对应“鸡兔同笼”这样的小学问题，但更多的时候面对的将是最小二乘法和有限元方法等；二次型问题当然可以用以曲面分类的研究，但更多的时候面对的还是多元函数极值和偏微分方程标准化等应用；特征值和特征向量可以用来描述不动点，但更多的时候用在模式识别和机器学习中。

线性代数课程的这两个特点可以说是有弊有利。网状的知识结构，虽然让初学者全面掌握知识点之间的关联有较大的困难，但也方便学习者使用类比、借鉴等方法更快的掌握更多的新知识点。也就是说，在考试中遗忘个别知识点，不影响答题过程。一个不太恰当的描述，就是“并联”系统的可靠性（考试及格率）要比“串联”系统的可靠性高很多。同时，“模型二代”的身份让线性代数的抽象性成倍的提高。

实际上，虽然它的应用范围几乎覆盖了生活中的各方各面，但对初学者（大二或大一下学期的学生）而言，线性代数的实际应用可能只是“鸡兔同笼”、营养配方、解线性方程组等中小学层次的问题。这导致学习者很容易失去学习的兴趣、获得感和成就感。“模型二代”这个身份，也让学习者可能有“初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗”的感觉。从线性代数的角度而言，可能是一点的突破，但在其它领域可能是“广阔天地，大有作为”。

针对线性代数这两个特点，学习者的学习方法也需有些针对性的调整。在学习过程中，学习者应更多的采用类比、借鉴等方法进行知识点的学习。在学习知识点的同时，要将更多的经历放在知识点间的关系上。此外，学习者应该主动锻炼自己的抽象思维和空间想象能力，将线性代数的运算从2维、3维的情况主动提升到n维的状态。

最后要说的是，我们的课程是针对线性代数初学者的课程，我们的主要目标是掌握矩阵这一数学工具的基本使用方法，了解用这种工具解决实际问题的基本步骤和方法。

需要补充的是，线性代数是非常适合“第二次学习”的课程。放心，这里不是说它的重修率应该很高（事实上，我校的线性代数课程的重修率是相当低的）。当你在专业课中再次接触到线性代数或矩阵的使用时，就是你应该进行第二次学习线性代数的时候了。在第二次学习时，你的主要学习目标才是熟练掌握使用工具——矩阵——解决某个特定问题的步骤和方法。