【原】正方形有关的经典题，没有良好的功底，确实有难度

如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°

（1）求证：AG＝FG；

（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝10，求FD的长．

解：(1)过点C作CH⊥BF于点H，易证△ABG≌△BCH，得AG=BH，BG=CH而∠BFC=45°得CH=FH，故FH=BG，故FG=BH,于是AG=FG

(2)方法一：作CH⊥BF于点H，C为FM的中点，CH为△FGM的中位线，CH||GM，故GM=2CH,而BG=CH，由此可得BG=CH=HF=GH=2

，GM=4，得AB=10；易知CF=CM=2，作BI⊥CM，DJ⊥CF，易知△BCI≌△CDJ，CI=，BI=3，得FJ=DJ=

，故DF=2

点评：此问只有一个数据，辅助线较多，对学生有较大挑战.中点是突破点，中位线、全等可得线段的数量关系.

方法二：作CH⊥BF，连接GC，GM=2CM，BG=CH，而BM=10，得CH=HF=GH=BG=2，AG=GF=BH=GM=4，得CG=CF=2，∠GCF=90°而∠BCD=90°得∠BCG=∠DCF，又CB=CD得△CBG≌△CDF，故DF=BG=2

点评：此法相对简洁，而中点产生的数量关系仍然是关键.

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