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本系列文章预计会有30个章节，这套文献将系统讲物理学系统本身，这里是第九季第9篇 --预计阅读7min-- Hello，大家好，这里是Masir的物理学第九季专栏，上一讲我们讨论了关于洛伦兹的问题，本篇继续。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”🦋反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 经典动力学的传统观点认为，系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。 可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为，在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。 洛伦兹对吸引子的发现是源自对一组微分方程的数值分析。 这组微分方程是他从测试天气预报的数学模型中提炼出来的，现在称为洛伦兹方程。
（洛伦兹方程） 洛伦兹发现这组方程的解有奇怪吸引子，发现在微小的干扰下，在一定的空间内轨道变化极其强烈，在原来“并肩”围绕一个中心“盘旋”的轨道中会有一些轨道突然改变“航向”离开其他轨道，加入另外一组轨道之中，围绕另一个中心旋转，甚至在两个中心之间跳来跳去，好像蝴蝶的翅膀，见下图。
而且，这类轨道并非个别，可以密密麻麻到处都有。 这种轨道的行为破坏了原有轨道的秩序，表现出某种不可预测性。这在数学上叫初始条件敏感，在数学的直觉上叫拓扑的不可预测，就是在已经建立的轨道上，在微小的干扰下，运动轨道会发生巨大的偏差。 下面三张图来自精英日课专栏，都是描写的都是从洛伦兹吸引子的一个区域中选择一个小圆环，圆环内部的点代表一些互相临近的初始值，我们想看看这些点随着时间的演化是怎样的。👇
对于上图这个圆环来说，这些点此后一直都在一起。这可能是封闭落后时期的某个乡村小学，孩子们此生的命运都差不多。 对应到混沌系统，这就是说初始值在这个位置的系统是高度可预测的，因为有点误差没关系，开始差不多的情况结果也会差不多。
第二张图中圆环的起始位置比较靠近吸引子的一个中心，这个局面就有点微妙了。 比如，最初几年，孩子们的命运仍然很相似，可能上的都是差不多的高中。可是一段时间之后，那些点的分布就散开了，虽然说彼此之间还有一定的联系，但是最终大家的命运有比较大的区别。 这可能是一个城市里的小学，有人考上大学，有人没考上。
第三张图中圆环在吸引子的底部开始，短短几年之后，孩子们就分散到了世界各地，干啥的都有，命运大不相同。 这是一所临时成立的国际小学吗？是赶上了战乱吗？ 这个洞见是混沌系统未来会发生什么，跟初始值的选取范围非常有关系。很多局面是非常安全的，我们的预测难点是那些不安全的局面。 虽然难以预测也是可以预测，但是计算机算力即使很强，但对于更复杂的系统，洛伦兹说，你精度再高也没用。比如我们接下来要说的主题——天气系统。 天气预报的原理非常简单，你只要解一个关于地球大气的流体力学问题。方程是现成的而且是无比精确的，叫「纳维尔-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）」。
它基于牛顿力学，没有多余的假设，可以精准描写空气和水的运动。你要做的就是把大气中每一个位置的压强、密度、温度和速度输入到方程中，用计算机求解，就可以知道天气接下来会如何演化。 当然这里面有个计算精度问题。你不可能照顾到每一个空气分子，你总需要搞一个模型。通常做法是把大气打上方形的三维格子，通过观测给每个格子赋予各种物理量的初始值，然后对这些格子做计算。
气象学家用了几十年的天气预报模型是设定格子的边长是100公里，这个精度不算太高。 所有模型都默认每个小格子内部的大气都是均匀的，也就是说，我们假定100公里以内发生的事情都可以忽略不计。 我们假定比格子尺度小的物理学对全局没什么大影响。这其实是一个不得已的假定，毕竟你的计算分辨率总是有限的。 而这个假定，是错的。 流体力学中恰恰有这么一种现象，就是小尺度范围内发生的事儿可以剧烈地影响到大尺度的事儿。这就是「湍流（turbulence）」。 湍流是时变的混沌行为，这种行为常见于流体流动中。 例如海浪、湍急的河流、滚滚的暴风云或烟囱冒出的烟雾，自然界中发生或工程应用中产生的大多数流体流动都是湍流。 简单例子，打开家里的自来水龙头，当你把流速控制到比较慢、又不是特别慢的时候，你会发现刚出来的水柱可以又光滑又稳定，就好像是静止似的。
这种流体叫「层流」，意思是每个水分子走的路径都跟它前面那个水分子是一致的，就好像排队一样，横向临近水分子的路径是平行的，一层一层的非常规则。 但如果你把水龙头开大，你会发现水流刚离开水管就开始四处飞溅，非常乱，这就是湍流。湍流中的水分子不再是排着队直接往前走了，它们会有很多*横向*的运动，甚至有时候还会往回走，等于是水一边往下流一边在空中形成各种小漩涡。
物理学家至今都没有彻底想明白湍流到底是怎么回事。 纳维尔-斯托克斯方程在这种复杂局面下的求解非常困难。我们只知道湍流有几个特点：不规则、会到处走、会扩散、会受到流速和粘滞度的影响等等。 最重要的是，湍流是流体中的各种「漩涡」导致的。大漩涡里套着小漩涡，小漩涡里又有更小的结构。
这也就是说，是小尺度上发生的一些事情，导致了大尺度的湍流。要想用计算机模拟湍流，你的模型就必须精确到小尺度才行。 湍流现象无处不在。轮船会造成水的湍流，高速公路上的汽车会造成空气的湍流。你坐飞机，有时候飞行员会提醒你系好安全带，说飞机“遭遇了气流”，那也是湍流。 所以湍流真是贯穿了小尺度和大尺度……对天气预报模型来说，麻烦就在于小尺度的湍流。 湍流现象说明小尺度流体力学是不可忽略的。你的模型把100公里以内的湍流都给取消了，那如果这种小尺度湍流原本会导致更大的漩涡，再导致更大的风暴，你这个模型不就没考虑在内吗？ 洛伦兹说的这个蝴蝶效应，是比我们前面说的洛伦兹吸引子更不好对付的混沌系统。 比如一般气象模型的格子尺度是100公里，这种情况下你能预测未来一周的天气变化。 你对此很不满意，你说我们现在有更强的计算机和更好的观测设备了，我们完全可以把格子精度提高一倍，达到50公里！那么，我们可预测的时间是否也会提高一倍呢？ 洛伦兹说，不会的。 这里面有个难以细说的数学理论，简单说就是「误差在小尺度上增长得更快」。把模型精度增加一倍，你可以预测的时间并不会从7天增加到14天——而是只能增加一半，也就是多预测3.5天。现在你可以做10.5天的天气预报。 总结： 混沌的思想和研究确实很有意思，我们能从混沌中得到很多生活的知识实属不易，不过我在万老师解读的《首要怀疑》发现了一个关于混沌的新世界观，特别烧脑，我们下篇继续聊。 好，今天就到这里，下一篇继续。  |
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