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如果有人问你，“长×宽”为什么等于“长方形的面积”？ 你是不是也有这样的感觉，好像长方形面积公式就是长×宽，那到底是人为规定，还是有一些算理在其中？ 从历史发展的角度看，平面图形面积的测量和计算历史悠久，距今约4000年前，古巴比伦时期就有利用平面图形边界线长度计算图形面积的想法。首先，测量测量平面图形边界线的长度，然后通过计算得到平面图形的面积，这样测量长度到计算面积的过程与方法，简称为“测线算面。” 线段是一维的，其测量就相对直接、便捷。长方形面积的大小仅从单一方向无法确定，需要通过两个方向的测量共同确定，需要用二维的眼光。 在测量时，都需要定义一个基准单位，然后再用它去测量被测对象。 如果测量一条线段的长度，就先定义长度为1个单位的线段为基准，然后用它去测量。 如果测量平面图形，就先以边长为1个单位的正方形面积作为基准单位，然后用它去测量。 说到这里，我们知道可以用尺去测量线段的长度。但为什么没有像“尺”一样的工具去“量”出平面图形的面积？ 这是因为，对于长方形、正方形来说，用刚才的基准单位去量还是可行的。但对于其他形状各异的平面图形就显得困难和繁琐。于是，就先找到长方形的面积计算方法，再通过其他图形之间的联系，再推导出其他图形面积的计算公式。 从计量角度出发，一维世界到二维世界的一个最大变化是对几何对象的刻画从测量为主转变到对算法研究为主，也就是“量”长度转向“算”面积了。 那现在就来看看“长方形的面积=长×宽“该如何理解？ 首先，作为运算的“长×宽”具有双重含义，第一是将一维的线段变成了二维的长方形；第二是“变长度为面积”，两个同类量（长度）相乘，衍生了不是长度的另外一类量（面积）。 其次，对于“长度×长度”的意义要做进一步理解。因为在二年级刚认识乘法时，把乘法理解为“相同加数求和”或“求一个数的几倍”的运算。 比如“4×3”，其中“4”和“3”具有不同的意义。比如“4”表示“4个苹果”，那么“3”就不能表示“3个苹果”。这里的“3”可以是数数过程的“次数”，也可以是盘数（每盘有4个）。 这样的经验用于长度的测量，“4厘米×3”的意义是把“4厘米”长度的线段看作一个整体，用这个4厘米长度作为单位，去测量另外一条更长的线段，测量动作重复3次，结果为3个4厘米。其中，这里的“3”和“4”的意义不同。 如果一个长方形的相邻两边长度分为4厘米和3厘米。那么按照“长方形面积=长×宽”，这个长方形面积就为“4厘米×3厘米“，其中4和3有共同的单位”厘米“，按照之前的经验，是难以理解的。 所以，不少数学家也把“厘米×厘米“称为荒诞的。甚至有数学家认为，将长方形的面积写为“长×宽“是“错误的”。 对于学生来说，从线段长度“量”和“数”的意义以及乘法的初步认识中，无法直接得到“长方形面积=长×宽”这个等式。这里的“×”的意义与之前的经验不一致。也就是把“长方形的面积=长×宽”中的“长”与“宽”看作线段的长度，无法与前面熟悉的乘法意义形成一致性。 最后，那该怎么理解呢？ 美国19世纪数学家阿尔伯特·泰勒·布莱德索在《数学哲学》中做过解释： “一个长方形长和宽的长度分别为 5 英尺和 4 英尺，5 英尺与4英尺两个名数相乘并不直接等于长方形面积。首先将两个以英尺为单位的名数改变为没有单位的不名数5和4，而后对两个不名数实施乘法计算“5×4=20”，这个乘积20仍然是不名数，不代表长方形，也不是长方形面积，但这个20恰好与长方形中边长为1英尺的小正方形个数相等，如果把边长为1英尺的正方形的面积命名为“1平方英尺”，那么长方形面积恰好等于20个1平方英尺，而且这样的过程普遍适用于所有长方形的情况。” 这就表明长方形面积公式中“长×宽”的意义，不是两条线段长度的乘积，而是行数与列数的乘积，简写为“行×列”。 长方形面积公式“长×宽”中的长与宽，表示的不是长度。“长方形的面积=长×宽”并非表达长度与长度的乘积等于面积，而是行数与列数的乘积等于面积，即“长方形的面积=行×列”。这时“×”的意义与“相同加数求和” 或“求一个数的几倍”就具有了一致性。 这种“行列说”解释的前提是把长度表示为整数，基于对面积单位进行“数数”的认知活动。 如果边的长度是整数： 如果边的长度是整数，可以通过对应关系，将一维的线段长度与二维的单位面积个数之间建立量的对应关系，从而推理出长方形面积的算法。 如求长为5厘米，宽为4厘米的长方形面积。 长为5厘米，对应5个1平方厘米的单位面积； 宽为4厘米，对应了3个1平方厘米的单位面积。 因为，长方形面积=单位面积的个数 =每行个数×行数 （每列个数×列数） ↑ ↑ 长的厘米数×宽的厘米数 所以，长方面面积=长×宽。 如果边的长度是有限小数： 求长3.7厘米，宽2.1厘米长方形的面积，计算还能用“长×宽“吗？ 因为不是整厘米数，所以把1平方厘米的正方形换成更小单位的“单位面积”，比如1平分毫米或更小。 这样沿着长和宽分别可以摆37和21个1平方毫米的正方形，面积就是777平方毫米。 只要长和宽是有限小数，那么总可以选择和长度单位相应的更小的面积单位来测量，测量后的总个数就等于“长×宽”，单位面积乘总个数就是它的面积。所以，长方形的面积=长×宽。 这里，分享一个中学高级教师职称评选学科测试中的一道题目，就需要老师作出解释。
如果边的长度是实数： 如果长和宽都不是有限小数，按照上面的方法就不可以了。因为无论将单位面积怎么缩小，都不能划分成整数个小正方形。因此就不能用数个数的方法得到长方形面积。 经过很多数学家的努力，到了20世纪初发明了测度理论，这个问题得到解决。大概证明过程如下： 设矩形的边长为非负实数a，b，它的面积记为S（a,b）。它具有以下性质： S（1,1）=1（单位面积）；S（a,b）=S（b,a）； S（a+c,b）=S（a,b）+S（c,b） 根据以上性质，可证明： （1）S（0,b）=0； （2）对任意非负有理数，有S=a×b； （3）当a，b有非负实数时，对任何实数都有两串有理数从左右两边无限逼近它，设有理数列{an}和{a,n}无限逼近a，有理数列{bn}和{b,n}无限逼近b。
可见，当数域改变，这个长方形面积公式的解释也要有所改变。 对于小学生而言，除了要知道这个面积公式，还要知道这个公式是如何推导出来的，也就是这个公式推导的过程是需要思考的。尤其是这个探究过程中积累到的活动经验和感悟的数学思想是尤其重要的。 比如，这里用单位面积去测量长方形的面积，这个度量本质需要理解。探究过程中要引导学生关注长和宽与单位面积个数的对应关系。这里需要给学生一些素材，引导学生经历全铺，半铺，少铺，不铺的过程，进而探究。在不同的素材下，经历归纳的过程，进而自主探究出长方形的面积公式。 |
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