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平行四边形与长方形一样，其面积的本质涵义都是“一行的面积单位的个数”与“行数”的乘积。从知识的发展脉络来看，平行四边形面积公式是面积计算的一个关键模型。首先，它的建构是建立在长方形面积公式的基础之上，又进一步统整为一个面积模型；其次，它对后续的三角形、梯形与组合图形的面积，甚至是不规则图形面积的计算都有重要的启发作用，有助于建立这些图形之间的关联。 为此，平行四边形面积的教学应突出两个关键点：一是沟通“数方格”与“剪拼法”的联系，真正建构平行四边形面积的概念，理解面积公式的数学本质就是一行的面积单位的个数与行数的乘积；二是聚焦于学生的“真问题”（即多数学生受长方形面积公式负迁移的影响，最容易产生的想法是“邻边相乘”），在比较、辨析中理解“底乘高”和“邻边相乘”的区别。如果将这两点教对、教透，那么在后续学习三角形和梯形的面积时，也只是丰富了转化的方法而已，即使到学习组合图形、圆的面积计算时，学生也能够基于已有认知展开自主探索。 【环节一】复习长方形的面积公式及推导过程 在师生交流中逐步形成下图（如图1） 图1 归纳： 【环节二】探究：怎样计算平行四边形的面积？（如图2） 图2 学生借助方格纸上的平行四边形独立思考，然后全班交流。 生1：数方格。把不满一格的半格都互相拼成整格，一共有15个格。（如图3） 图3 生2：剪拼法。沿着高把左侧的三角形“剪下来”，再把这个三角形整体向右移动，拼成了长方形，面积是5×3=15（格）。（如图4） 图4 讨论：“数方格”的方法和“剪拼转化法”有什么区别和联系？ 归纳：平行四边形里有大半格还有小半格，方格数起来很不方便；而“剪拼法”是通过“剪拼”转化成面积相等的长方形，很容易看出“一行有几个小方格”和有“几行”，计算起来很方便。 师：我们知道长方形的面积计算的是面积单位的个数，那么平行四边形的面积计算的又是什么呢？ 生：平行四边形的面积计算的也是面积单位的个数。 【思考】“数方格”也就是数面积单位，是测量本质的直观体现，也是能有效剔除“邻边相乘”错误方法的途径。同时，在方格图里进行割补，能使学生直观地感受到，只有将图形这样变形，才能够最方便地数出它包含了几个面积单位，直观体现“等积变形”。学生在“数方格”的动手操作和“数数”的过程中，会更加自然地建构平行四边形的面积概念，理解面积公式的数学本质就是“一行的面积单位的个数”与“行数”的乘积。同时，教学中基于“数方格”与“剪拼转化法”之间的联系，积极向后者转向，其原因在于，“转化”法在“平行四边形的面积”乃至整个平面图形面积教学中具有极其重要的作用。 【环节三】辨析“剪拼转化”与“推拉转化”的异同 出示练习：计算下面平行四边形的面积。（如图5） 图5 学生独立尝试后的答案大致有两种：32和40平方厘米。 生1：用“剪拼法”把平行四边形右边的三角形剪下来，拼在平行四边形左边，就变成了一个长方形。这个长方形的长是8厘米，宽是4厘米，所以面积是32平方厘米。 （结合回答，动态呈现剪拼的过程，如图6） 图6 生2：我是把平行四边形“推拉成”一个长方形，再用它的长乘宽（两个邻边相乘），面积是8×5=40平方厘米。 师：哪个答案是正确的？我们可以借助方格图数一数这个平行四边形到底包含多少个面积单位来验证。 课件显示出方格，再沿着高“剪、拼”成宽是4厘米的长方形，得到平行四边形的面积是8×4=32平方厘米。而“推拉”成的长方形的宽是5厘米，面积是8×5=40平方厘米，不再是原先平行四边形的面积了。（如图7） 图7 小结：计算平行四边形的面积时，用“剪拼法”把平行四边形转化成面积相等的长方形，平行四边形的底=长，高=宽，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。 【思考】多数学生受长方形面积公式负迁移的影响，最容易产生的想法是“邻边相乘”，上述教学聚焦于学生的“真问题”，激发学生积极进行思考，并借助“数方格”明晰“剪拼转化”的道理和“推拉转化”的问题所在。这样直面学生“真困惑”的追本溯源的数学活动，针对性很强，也为学生奠定了利用转化思想解决问题的认知基础。 |
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