方法一首先，考虑方程 ，通过变换 ，我们得到新的方程： 现在，我们有一个标准的热传导方程。我们可以使用热传导方程的极值原理来证明. 不妨考虑矩形区域. 作变换后 满足如下初边值问题: 先证解的唯一性 设 和 是在函数空间 中的两个解. 记 , 那么满足齐次初边值条件的定解问题： 设 为 的抛物边界, 由极值定理，对 成立 即在区域 上, . 则 ，于是 唯一，也即 唯一. 下面考虑解的稳定性 设 是如下问题的解 当 时 如果有 那么由极值原理得 , 则 即 是稳定的. 方法二在矩形域 上考虑如下第一边值问题。 设 则由热传导方程的极值定理 有 设 是问题 的两个解，则它们的差 满足如下第一边值问题: 此时 即有 因此 , 得证唯一性. 设 满足如下边值问题 则 满足如下边值问题 取, 则 . 因此该初边值问题的解为稳定的。 （网上参考答案）解: 作变换 , 则 满足方程 , 且有 根据热传导方程的极值原理有 而对任何 为证唯一性只要证明问题 只有零解. 事实上, 此时 , 因此 , 即 . 为证稳定性, 只要证明问题 当 和 微小时, 解亦微小. 设当 时, 则对 , 成立 故此问题是稳定的.
（网上参考答案）解：设 在以 为边界的区域 上调和. 考虑到 在闭区域 上 的连续性, 知 一定可以取到最大值 . 又因 是闭集, 在 上也有最 大值 . 下证 . 用反证法. 设 在 内某点 达到最大值 作辅助函数 其中 是以原点为中心、包含区域 的一个圆的半径. 此时有 而 故 不在边界 上取到最大值, 它必在 内某点 取到最大值, 在 这点应有 但另一方面 导致矛盾. 因此应有 . 设 是 中的有界闭区域，边界 光滑 且 , 用反证法. 记 是 在边界 上的最大值 设 在闭区域 上的最大值 在 的内部点 取得. 设 , 显然 若 , 我们作一辅助函数 其中 是闭区域 的半径. 注意到 , 且在边界 上有 . 这表明函数 在区域 内部的某一点 上取到最大值. 在该点外 但在 点处. , 即 . 这与上式矛盾，故 . 得证
要证明二维热传导方程的柯西问题在 时以 的衰减率趋于零，首先回顾二维热传导方程和其解的表达式。 二维热传导方程的柯西问题如下 解为：（利用傅里叶变换）
由积分的绝对值不等式 有 由于 为 上的有界连续函数， 则 其中 为一个仅与 及 有关的正常数. 傅里叶变换证明二维热传导的柯西问题的解对方程和初始条件作傅里叶变换 则有 可看作 关于 的常微分方程的初值问题 解得: 于是 利用卷积定理 有 于是： |
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